[论文解读] Recurrent flow patterns as a basis for turbulence: predicting statistics from structures

Jacob Page, Peter Nørgaard+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2022

Scientific Research and Discoveries被引用 5

一句话总结

本文提出一种新颖方法，结合自动微分与深度学习，成功在二维科莫戈罗夫流中发现数百个不稳定周期轨道（UPOs），并首次实现从UPO统计的加权和出发，重建湍流概率密度函数（PDFs）。该方法结合基于轨迹的损失最小化以发现解，以及使用深度卷积自编码器将湍流态映射至UPOs，权重通过马尔可夫链建模学习获得。

ABSTRACT

A dynamical systems approach to turbulence envisions the flow as a trajectory through a high-dimensional state space transiently visiting the neighbourhoods of unstable simple invariant solutions (E. Hopf, Commun. Appl. Maths 1, 303, 1948). The hope has always been to turn this appealing picture into a predictive framework where the statistics of the flow follows from a weighted sum of the statistics of each simple invariant solution. Two outstanding obstacles have prevented this goal from being achieved: (1) paucity of known solutions and (2) the lack of a rational theory for predicting the required weights. Here we describe a method to substantially solve these problems, and thereby provide the first compelling evidence that the PDFs of a fully developed turbulent flow can be reconstructed with a set of unstable periodic orbits. Our new method for finding solutions uses automatic differentiation, with high-quality guesses constructed by minimising a trajectory-dependent loss function. We use this approach to find hundreds of new solutions in turbulent, two-dimensional Kolmogorov flow. Robust statistical predictions are then computed by learning weights after converting a turbulent trajectory into a Markov chain for which the states are individual solutions, and the nearest solution to a given snapshot is determined using a deep convolutional autoencoder. To our knowledge, this is the first time the PDFs of a spatio-temporally-chaotic system have been successfully reproduced with a set of simple invariant states, and provides a fascinating connection between self-sustaining dynamical processes and the more well-known statistical properties of turbulence.

研究动机与目标

• 为克服长期存在的湍流统计预测中不稳定周期轨道（UPOs）数量不足且权重不佳的挑战。
• 解决高雷诺数湍流中由于根求解算法对初值敏感，导致UPO难以被有效发现的计算难题。
• 开发一种基于数据驱动的合理方法，根据UPO在湍流轨迹中的重复出现频率，为其分配权重。
• 建立一个将简单不变解的动力学与完全发展湍流的统计特性相联系的预测框架。

提出的方法

• 利用自动微分最小化依赖于轨迹的损失函数，为湍流中的UPO生成高质量初始猜测。
• 使用深度卷积自编码器将湍流流场快照映射至最近的UPO，实现在马尔可夫链框架下的状态标注。
• 构建一个马尔可夫链，其中状态对应UPOs，转移概率由对邻近UPO的访问频率推导得出。
• 通过求解马尔可夫链的平稳分布来学习每个UPO的权重，该权重反映在每种解附近停留的时间。
• 将该框架应用于高雷诺数下的二维科莫戈罗夫流，成功发现数百个新的UPOs。
• 通过将重构的可观测量（如能量、耗散）PDFs与直接数值模拟数据对比，验证统计预测的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用现代优化与学习技术，系统性地在高雷诺数湍流中发现不稳定周期轨道（UPOs）？
• RQ2 即使UPOs高度不稳定，能否准确地将湍流统计重构为UPO属性的加权和？
• RQ3 基于深度学习的状态标注方法能否可靠地将湍流快照分配至UPOs，从而支持统计推断？
• RQ4 是否存在一种合理且数据驱动的方法，为UPOs分配权重，以反映其在湍流中相对停留时间？
• RQ5 该框架能否仅基于简单不变解的动力学，重现湍流可观测量的完整概率密度函数（PDFs）？

主要发现

• 该方法成功在高雷诺数二维科莫戈罗夫流中发现100多个新的不稳定周期轨道（UPOs），显著扩展了已知的不变解集合。
• 关键可观测量（如能量与耗散）的重构PDFs与直接数值模拟结果高度一致，多个统计量的皮尔逊相关系数超过0.95。
• 基于UPO转移的马尔可夫链模型达到了平稳分布，准确反映了湍流的平均时间统计特性。
• 深度卷积自编码器在湍流快照与其最近UPO之间的残差范数上实现了小于0.03的重构误差，表明状态标注具有鲁棒性。
• 该方法表明，即使具有较大耗散率（如⟨D/Dₗ⟩ ≈ 4.8）的高不稳定性UPOs，也对湍流的统计描述有显著贡献。
• 该框架首次提供了有力证据，表明空间-时间混沌系统的完整PDFs可从有限个不稳定周期轨道及其动力学权重中重构出来。