[论文解读] Recurrent Relations for Multiple of Triangular Numbers being Triangular Numbers

Vladimir Pletser|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文推导出作为其他三角形数倍数的三角形数的递推关系，表明对于任意非完全平方的正整数倍数 k，存在无穷多组解。文章基于佩尔方程建立递推关系，并提供闭式解；而对于平方 k，解的数量有限，且取决于 k 的具体值。

ABSTRACT

We search for triangular numbers that are multiples of other triangular numbers. It is found that for any positive non-square integer multiplier, there is an infinity of multiples of triangular numbers that are triangular numbers and recurrent relations are deduced theoretically. If the multiplier is a squared integer, there is either one or no solution, depending on the multiplier value.

研究动机与目标

• 识别所有满足 T_ξ = kT_t 的三角形数 T_ξ，其中 k 为其他三角形数 T_t 的整数倍。
• 当 k 为非完全平方正整数时，推导解序列 (t_n, ξ_n) 的一般递推关系。
• 通过引入‘阶’ r 的概念（定义为比值 t_n/t_{n−r} 的规律性），分析解序列的结构。
• 确定当 k 为完全平方数时解存在的条件，表明此时仅存在一个或无解，具体取决于 k 的值。
• 使用常系数线性递推，提供 t_n、ξ_n、T_t 和 T_ξ 的闭式表达式与递推关系。

提出的方法

• 将丢番图方程 T_ξ = kT_t 转化为广义佩尔方程 x² − ky² = 1 − k，其中 x = 2ξ + 1，y = 2t + 1。
• 利用佩尔方程理论证明当 k 为非完全平方正整数时，存在无穷多组解。
• 将‘阶’ r 定义为最小整数，使得比值 t_n / t_{n−r} 近似为常数或有规律地递减，从而实现阶为 2r 的递推。
• 推导形如 X_n = 2(κ + 1)X_{n−r} − X_{n−2r} + κ 的递推关系，其中 t_n 与 ξ_n 的 κ = t_r + t_{r−1} = ξ_r − ξ_{r−1} − 1。
• 通过辅助序列（初始条件为 λ_{−1} = −1，λ_0 = 0，λ_1 = 1 和 ξ_0 = 0，ξ_1 = t）建立 λ_n 与 ξ_n 的递推关系。
• 证明当 k = λ_n² 时，k_n = λ_n² 的值可产生 T_ξ = kT_t 的有效解，并对 k < 10⁴ 的 λ_n 递增序列进行解的表格整理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些非完全平方正整数 k，存在无穷多组三角形数 T_ξ，使其为其他三角形数 T_t 的倍数 kT_t？
• RQ2 此类 k 的解序列 (t_n, ξ_n) 的结构如何？是否可用递推关系描述？
• RQ3 ‘阶’ r 的形式化定义是什么？如何利用它推导出解序列的 2r 阶递推关系？
• RQ4 当 k 为完全平方数时，解存在的条件是什么？此类情况下存在多少组解？
• RQ5 能否基于参数 κ 与 r，为 t_n、ξ_n、T_t 与 T_ξ 推导出闭式递推关系？

主要发现

• 对于任意正的非完全平方整数 k，存在无穷多组解 (ξ, t)，使得 T_ξ = kT_t，其存在性由关联佩尔方程的可解性保证。
• 解序列 (t_n, ξ_n) 满足形如 X_n = 2(κ + 1)X_{n−r} − X_{n−2r} + κ 的二阶线性递推关系，其中 r 为阶，κ 为由初始解对导出的常数。
• 当 k = λ_n² 时，k_n = λ_n² 的值可产生有效解，且对 t = 1 至 6 的前五组 k_n 与 ξ_n 值进行了表格整理，显示 k_n 为完全平方数，且当 t = 1 时 ξ_n 为三角形数。
• 当 k 为完全平方数时，解仅存在于特定的 k 值；例如 k = 1, 36, 100, 196, 324, ...，且每组 k 仅存在一个或无解，如表 7 所示。
• λ_n 的递推式为 λ_n = (4t + 2)λ_{n−1} − λ_{n−2}，初始条件为 λ_{−1} = −1，λ_0 = 0，λ_1 = 1；ξ_n 满足 ξ_n = (4t + 2)ξ_{n−1} − ξ_{n−2} + 2t，初始条件为 ξ_0 = 0，ξ_1 = t。
• 当 t = 1 时，k_n = λ_n² 的序列对应 OEIS A001110（既是完全平方数又是三角形数的数），且 ξ_n 对应 OEIS A001108。