[论文解读] Recurrent Sums and Partition Identities

Roudy El Haddad|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2021

Advanced Mathematical Identities参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文提出了一种通用框架，用于利用分拆恒等式和反演公式分析递归求和——即具有有序指标的嵌套求和。该框架推导出一个约化定理，将此类求和表示为非递归求和的形式，从而实现多重zeta星值和广义$p$-级数的闭式求值，包括一个新恒等式：$m$重递归求和$1/N^2$收敛于$\left(2 - \frac{1}{2^{2(m-1)}}\right)\zeta(2m)$，该结果推广了欧拉的巴塞尔问题。

ABSTRACT

Sums of the form $\sum_{N_m=q}^{n}{\cdots \sum_{N_1=q}^{N_2}{a_{(m);N_m}\cdots a_{(1);N_1}}}$ where the $a_{(k);N_k}$'s are same or distinct sequences appear quite often in mathematics. We will refer to them as recurrent sums. In this paper, we introduce a variety of formulas to help manipulate and work with this type of sums. We begin by developing variation formulas that allow the variation of a recurrent sum of order $m$ to be expressed in terms of lower order recurrent sums. We then proceed to derive theorems (which we will call inversion formulas) which show how to interchange the order of summation in a multitude of ways. Later, we introduce a set of new partition identities in order to then prove a reduction theorem which permits the expression of a recurrent sum in terms of a combination of non-recurrent sums. Finally, we apply this reduction theorem to a recurrent form of two famous types of sums: The $p$-series and the sum of powers.

研究动机与目标

• 开发一种系统理论，用于处理形如$\sum_{1 \leq N_1 \leq \cdots \leq N_m \leq n} a_{(m);N_m} \cdots a_{(1);N_1}$的递归求和，此类求和在数论和数学物理中频繁出现。
• 推导变化公式，将$ m $阶递归求和的变化量表示为低阶求和的形式。
• 建立反演公式，允许在递归求和中以多种方式重排求和指标。
• 引入新的分拆恒等式，以证明一个约化定理，将递归求和表示为非递归求和的组合。
• 将通用框架应用于特殊情形，包括多重zeta星值和幂次的Faulhaber型求和。

提出的方法

• 引入递归求和的概念，并使用具有非减指标的嵌套求和定义其结构。
• 开发变化公式，将$ m $阶递归求和的差值表示为低阶递归求和的形式。
• 推导反演公式，允许多种方式重排递归求和中的求和指标，便于指标操作。
• 引入一组新的分拆恒等式，以整数分拆的形式表示递归求和的结构。
• 证明一个约化定理，利用基于分拆的系数，将任意递归求和表示为非递归求和的有限组合。
• 将约化定理应用于两个关键情形：多重zeta星值和广义$p$-级数，特别是$p=1$的情形（即$1/N^2$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将$ m $阶递归求和的变化量表示为低阶递归求和的形式？
• RQ2 在递归求和中，求和顺序可以有多少种不同的重排方式？其重排的公式是什么？
• RQ3 能否利用分拆恒等式将递归求和约化为非递归求和的组合？
• RQ4 对于$ m $重递归求和$1/N^2$，可以推导出何种闭式表达式？其与黎曼zeta函数有何关系？
• RQ5 当求和重数$ m $增加或趋于无穷时，递归$ p $-级数的渐近行为如何？

主要发现

• $ m $重递归求和$1/N^2$的表达式为$\left(2 - \frac{1}{2^{2(m-1)}}\right)\zeta(2m)$，该结果推广了欧拉的巴塞尔问题。
• 当$ m \to \infty $时，$1/N^2$的递归求和收敛于2，因为$\zeta(2m) \to 1$且$\left(2 - \frac{1}{2^{2(m-1)}}\right) \to 2$。
• 对所有$ m \geq 0 $，所有满足$ 2p=2 $的递归$ p $-级数之和发散，因为当$ m \geq 0 $时每一项均有下界1。
• 约化定理使得任意递归求和可表示为基于整数分拆的有限和，其系数包含阶乘和zeta函数值的幂次。
• 推导出一个关于分拆求和的新二项式系数恒等式，建立了组合数学与zeta函数之间的联系。
• 本文推导出涉及分拆上伯努利数之和的恒等式，扩展了已知的数论恒等式。