[论文解读] Recursion operators and bi-Hamiltonian structure of the general heavenly equation

M. B. Sheftel, А А Малых+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文通过将一般天体方程（GHE）重新表述为一个两分量演化系统，构建了三个非局部递归算子，并建立了其双哈密顿结构。利用Lax对分裂和P. Olver的函数多向量理论，作者推导出一个单一的非局部递归算子，将其与第一个哈密顿算子复合得到第二个算子，并验证了雅可比恒等式与相容性，证明该系统为Magri可积。该方法通过形式伴随递归算子生成了无穷多级的非局部对称性。

ABSTRACT

We discover two additional Lax pairs and three nonlocal recursion operators for symmetries of the general heavenly equation introduced by Doubrov and Ferapontov. Converting the equation to a two-component form, we obtain Lagrangian and Hamiltonian structures of the two-component general heavenly system. We study all point symmetries of the two-component system and, using the inverse Noether theorem in the Hamiltonian form, obtain all the integrals of motion corresponding to each variational (Noether) symmetry. We discover that in the two-component form we have only a single nonlocal recursion operator. Composing the recursion operator with the first Hamiltonian operator we obtain second Hamiltonian operator. We check the Jacobi identities for the second Hamiltonian operator and compatibility of the two Hamiltonian structures using P. Olver's theory of functional multi-vectors. Our well-founded conjecture is that P. Olver's method works fine for nonlocal operators. We show that the general heavenly equation in the two-component form is a bi-Hamiltonian system integrable in the sense of Magri. We demonstrate how to obtain nonlocal Hamiltonian flows generated by local Hamiltonians by using formal adjoint recursion operator.

研究动机与目标

• 通过为对称性构造递归算子，扩展一般天体方程（GHE）的可积性框架。
• 将单分量GHE重构为两分量演化系统，以实现哈密顿与拉格朗日结构。
• 应用哈密顿形式的逆诺特定理，推导出对应于变分对称性的所有运动积分。
• 利用P. Olver的函数多向量理论，特别是针对非局部算子，验证GHE系统的双哈密顿结构。
• 通过形式伴随递归算子生成无穷多级的非局部对称性与守恒律。

提出的方法

• 通过对GHE的原始Lax对关于谱参数λ进行分裂，推导出三个不同的Lax对及其对应的递归算子。
• 通过引入辅助变量，将单分量GHE转化为两分量演化系统，从而实现拉格朗日与哈密顿结构的构造。
• 应用哈密顿形式的逆诺特定理，识别两分量系统点对称性所对应的全部运动积分。
• 利用P. Olver的函数多向量理论，验证第二个哈密顿算子的雅可比恒等式以及两个哈密顿结构的相容性。
• 将第二个哈密顿算子构造为 $ J_1 = R J_0 $，其中 $ R $ 为递归算子，$ J_0 $ 为第一个哈密顿算子。
• 通过迭代应用形式伴随递归算子 $ R^ op $ 到哈密顿量的变分导数，生成高阶非局部对称性与积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 当伙伴对称方法失效时，能否通过Lax对分裂为一般天体方程的对称性推导出递归算子？
• RQ2 GHE的两分量演化形式是否具有双哈密顿结构？若存在，如何构建？
• RQ3 P. Olver的函数多向量理论能否应用于非局部哈密顿算子？其是否能产生有效的雅可比恒等式与相容性条件？
• RQ4 如何利用形式伴随递归算子，系统地从局部哈密顿量生成非局部对称性与守恒律？
• RQ5 递归算子在两分量GHE系统中生成无穷多级积分与对称性的角色是什么？

主要发现

• 通过Lax对分裂，为一般天体方程推导出三个非局部递归算子，其中一个是适用于主两分量系统的。
• 两分量形式的GHE具有拉格朗日、辛与哈密顿结构，使得诺特定理与逆诺特定理得以应用。
• 对两分量系统的全部点对称性进行了分类，并利用哈密顿形式的逆诺特定理推导出相应的运动积分。
• 第二个哈密顿算子 $ J_1 = R J_0 $ 已构造并验证其满足雅可比恒等式且与 $ J_0 $ 相容，确认了双哈密顿结构的存在。
• 形式伴随递归算子 $ R^ op $ 从局部哈密顿量生成了无穷多级的非局部哈密顿流，从而实现了更高阶积分与对称性的构造。
• 作者提供了强有力的证据，表明P. Olver的函数多向量理论适用于非局部算子，因为在雅可比恒等式检验中非局部项相互抵消，支持了其在一般化情形下成立的合理猜想。