[论文解读] Recursion Operators and Nonlocal Symmetries for Integrable rmdKP and rdDym Equations

Oleg I. Morozov|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用 16

一句话总结

本文使用基于带有不可消去参数的线性覆盖的几何方法，为可积的 rmdKP 和 rdDym 方程构造了直接与逆递归算子。它证明了这些算子可生成无穷对称层级，并通过守恒律显式计算了非局部对称的影子，揭示了这些方程中非局部对称的代数结构。

ABSTRACT

We find direct and inverse recursion operators for integrable cases of the rmdKP and rdDym equations. Also, we study actions of these operators on the contact symmetries and find shadows of nonlocal symmetries of these equations.

研究动机与目标

• 使用基于线性覆盖的几何方法，为可积的 rmdKP 和 rdDym 方程推导直接与逆递归算子。
• 研究这些递归算子对这些方程的接触对称代数的作用。
• 通过微分覆盖中带有不可消去参数的非局部对称的影子进行计算。
• 通过递归算子作用与守恒律揭示非局部对称的代数结构。
• 将 [30] 中的方法适用范围扩展至具有非平凡覆盖的 (2+1) 维可积偏微分方程。

提出的方法

• 使用 [30] 的方法，基于带有不可消去参数的 rmdKP 和 rdDym 方程的线性覆盖构造递归算子。
• 应用切覆盖（线性化覆盖）的自 Bäcklund 变换概念，将递归算子定义为非局部的、积分微分算子。
• 使用演化向量场与全导数表示对称性及其在喷射空间上的作用。
• 通过求解涉及喷射坐标与守恒律的确定方程组，推导出递归算子及其逆的显式公式。
• 通过求解由守恒律导出的势系统，识别非局部对称的影子。
• 利用对称代数的分次结构与李括号关系，分析非局部对称的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用带有不可消去参数的线性覆盖，系统地构造 (2+1) 维可积偏微分方程（如 rmdKP 和 rdDym）的递归算子？
• RQ2 递归算子对 rmdKP 和 rdDym 方程的接触对称代数的作用是什么？
• RQ3 哪些非局部对称是由递归算子作用产生的？它们如何作为影子实现？
• RQ4 守恒律与微分覆盖如何促进非局部对称影子的构造？
• RQ5 由递归算子生成的非局部对称空间的代数结构是什么？

主要发现

• 基于 [30] 的方法，使用带有不可消去参数的线性覆盖，显式构造了 rmdKP 和 rdDym 方程的直接与逆递归算子。
• 递归算子通过对接触对称的作用，将对称生成元映射到更高阶对称，给出了 φ₁(A₁)、φ₂(A₂) 和 φ₃(B₁) 的显式公式。
• 通过求解势系统计算了非局部对称的影子：s₀ 对应 φ₀(A₀)，s₄ 对应 φ₄，两者均对应于守恒律。
• 逆递归算子将 φ₁(A₁) 映射为 φ₀(A₁) + λφ₁(A₁)，将 φ₂(A₂) 映射为 φ₁(A₂)，将 φ₃(B₁) 映射为 λφ₃(B₁)，揭示了非局部结构。
• 递归算子将 φ₀(A₀) 映射为 φ₁(A₀) − λφ₂(A₀)，并将 φ₄ 映射为定义新非局部对称的系统的一个解。
• 非局部对称的代数结构在李括号下封闭，∑g 与 h 构成一个分次代数，∑g ⊕ h 为完整的对称代数。