[论文解读] Recursive computation of the invariant distributions of Feller processes: Revisited examples and new applications

Gilles Pagès, Clément Rey|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文将递归随机逼近框架扩展至Feller过程，通过Milstein和Euler格式在弱均值回归条件下计算不变分布。对于具有多项式与指数增长的测试函数，证明了经验测度几乎必然弱收敛于不变分布，且在矩与漂移条件下的Wasserstein收敛性与紧致性。

ABSTRACT

In this paper, we show that the abstract framework developed in Pages & Rey (2017) and inspired by Lamberton & Pages (2002) can be used to build invariant distributions for Brownian diffusion processes using the Milstein scheme and for diffusion processes with censored jump using the Euler scheme. Both studies rely on a weakly mean reverting setting for both cases. For the Milstein scheme we prove the convergence for test functions with polynomial (Wasserstein convergence) and exponential growth. For the Euler scheme of diffusion processes with censored jump we prove the convergence for test functions with polynomial growth.

研究动机与目标

• 开发一种用于带右删失跳跃的扩散过程不变分布计算的递归算法。
• 将[21]的随机逼近框架扩展至非马氏过程与跳跃扩散设置。
• 在弱均值回归条件下，证明经验测度几乎必然弱收敛于不变分布。
• 为具有多项式与指数增长的测试函数建立Wasserstein距离下的收敛性。
• 提供确保递归方案紧致性与收敛速率的条件。

提出的方法

• 应用具有时变步长(γn)的非齐次离散时间马氏过程，以逼近连续时间Feller过程。
• 使用加权经验测度νγn = (1/Γn)∑γkδXγΓk−1，递归计算不变分布的近似值。
• 对扩散过程采用Milstein格式，对右删失跳跃扩散采用Euler格式。
• 通过漂移与扩散系数条件（如Bqp(φ), Rp,qp(α,β,φ,V)）施加弱均值回归。
• 利用随机逼近理论与递归鞅型论证，控制偏差与方差。
• 通过耦合与矩条件（如H˜q(φ,V), SWI,γ,η）确保加权和的可积性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 递归随机逼近框架能否扩展至具有右删失跳跃的扩散过程？
• RQ2 在弱均值回归条件下，Euler格式的经验测度是否几乎必然收敛于不变分布？
• RQ3 何种条件可确保具有指数增长的测试函数在Wasserstein距离下的收敛性？
• RQ4 在矩与漂移条件下的经验测度紧致性如何建立？
• RQ5 在多项式与指数测试函数下，递归方案的收敛速率为何？

主要发现

• 对于具有多项式增长的测试函数，加权经验测度νγn几乎必然收敛于不变分布ν。
• 对于Milstein格式，具有指数增长的测试函数在Wasserstein距离下收敛。
• 在条件LV与p/s + a − 1 > 0下，(νγn)n∈N∗的紧致性得以建立。
• 递归方案在无需分析νγ1与ν之间渐近关系的情况下实现收敛。
• 对于f = Aϕ形式的函数，推导出收敛速率与极限高斯分布，扩展了[2]的结果。
• 通过SWI,γ,η与SWII,γ,η假设，提供了方案稳定性的充分条件。