[论文解读] Recursive decoding of Reed-Muller codes

Ilya Dumer|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种基于Plotkin $(u,u+v)$构造的递归软判决与硬判决译码算法，用于Reed-Muller (RM)码。该算法通过将码分解为更小的分量码，递归地在端点 $\binom{j}{1}$ 和 $\binom{j}{j-1}$ 进行译码，并通过概率方法重新计算似然性，实现了接近最优的纠错性能，复杂度为 $O(n\log n)$，显著优于先前方法，对于中高码率码可纠正高达 $d\ln d/2$ 个错误。

ABSTRACT

New soft- and hard decision decoding algorithms are presented for general Reed-Muller codes $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r} ight\} $ of length $2^{m}$ and distance $2^{m-r}$. We use Plotkin $(u,u+v)$ construction and decompose code $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r} ight\} $ onto subblocks $u\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r} ight\} $ and $v\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r-1} ight\} .$ In decoding, we first try to find a subblock $v$ from the better protected code and then proceed with the block $u$. The likelihoods of the received symbols are recalculated in a way similar to belief propagation. Thus, decoding is relegated to the two constituent codes. We repeat this recursion and execute decoding only at the end nodes $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{1} ight\} $ and $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{j-1} ight\} $. The overall complexity has low order of $n\log n.$ It is shown that this decoding substantially outperforms other algorithms of polynomial complexity known for RM codes. In particular, for medium and high code rates, the algorithm corrects most error patterns of weight $d\ln d/2.$

研究动机与目标

• 开发一种低复杂度的Reed-Muller码译码算法，以改进现有多项式时间方法。
• 通过利用软判决度量和概率似然更新，将递归译码扩展至超出有界距离译码的范围。
• 提升中高码率RM码的纠错性能，尤其在短至中等块长度下。
• 通过在第一阶和 $(j-1)$ 阶码而非零阶码处停止译码，优化译码终止规则，以增强译码容量。
• 证明基于概率似然重计算的递归译码可实现接近多数译码的性能，同时保持低复杂度。

提出的方法

• 使用Plotkin $(u,u+v)$构造，递归地将RM码 $\binom{m}{r}$ 分解为子码 $\binom{m-1}{r}$ 和 $\binom{m-1}{r-1}$。
• 在每一递归层级使用类似信念传播的更新方法，重新计算接收符号的似然性，以传播软信息。
• 仅在终端节点 $\binom{j}{1}$（双正交码）和 $\binom{j}{j-1}$（单校验码）执行实际译码。
• 采用递归译码策略，处理RM码的帕斯卡三角形结构，从根开始，向终端节点推进。
• 通过将最不保护的信息比特（例如来自最左侧终端节点的比特）置零，应用删减技术，以提升子码性能。
• 采用软判决度量，如平方欧几里得距离 $\rho^2$ 和硬判决阈值 $t$，以量化译码容量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Reed-Muller码的递归译码扩展至超出有界距离译码的范围，以纠正更多错误模式？
• RQ2 在递归过程中，概率似然重校准对译码性能的影响与传统递归算法相比如何？
• RQ3 在译码容量与复杂度之间权衡时，递归译码的最优停止规则是什么？
• RQ4 通过信息比特删减实现子码优化，是否能显著改善块错误率性能？
• RQ5 新算法的纠错容量与多数译码及先前递归方法相比，其定量比较结果如何？

主要发现

• 该算法实现 $O(n\log n)$ 复杂度，显著低于先前递归算法的 $O(n\min(r,m-r))$ 复杂度。
• 对于中高码率码，该算法可纠正高达 $d\ln d/2$ 个错误模式，译码容量是先前递归算法的两倍。
• 在 $\binom{9}{4}$ 码（长度512）的仿真中，新递归译码在4 dB SNR下达到块错误率为 $2\times10^{-4}$，优于先前递归方法和多数译码方法。
• 将最不保护的信息比特（来自最左侧终端节点）删减后，块错误率在4 dB下降低至 $2\times10^{-4}$，显示出显著的性能增益。
• 使用第一阶和 $(j-1)$ 阶码作为终端节点而非零阶码，相比先前递归算法，实现了更高的译码容量。
• 该算法的软判决性能（以 $\rho^2$ 衡量）优于多数译码和先前递归方法，尤其在固定码率码中表现更优。