[论文解读] Recursive Fermion System in Cuntz Algebra. II -- Endomorphism, Automorphism and Branching of Representation --

Mitsuo Abe, Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Jul 1, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 7

一句话总结

该论文通过将CAR代数嵌入到Cuntz代数$\mathcal{O}_{2^p}$中，显式构造了CAR代数的*-自同态与*-自同构，从而实现了对费米子系统的系统性研究。结果表明，KMS态源自作用于Fock表示的偶-CAR自同态，并识别出一类保持Fock真空但允许粒子数变化的一参数非线性*-自同构群——表明系统表现出非准自由的动力学行为。

ABSTRACT

Based on an embedding formula of the CAR algebra into the Cuntz algebra ${\mathcal O}_{2^p}$, properties of the CAR algebra are studied in detail by restricting those of the Cuntz algebra. Various $\ast$-endomorphisms of the Cuntz algebra are explicitly constructed, and transcribed into those of the CAR algebra. In particular, a set of $\ast$-endomorphisms of the CAR algebra into its even subalgebra are constructed. According to branching formulae, which are obtained by composing representations and $\ast$-endomorphisms, it is shown that a KMS state of the CAR algebra is obtained through the above even-CAR endomorphisms from the Fock representation. A $U(2^p)$ action on ${\mathcal O}_{2^p}$ induces $\ast$-automorphisms of the CAR algebra, which are given by nonlinear transformations expressed in terms of polynomials in generators. It is shown that, among such $\ast$-automorphisms of the CAR algebra, there exists a family of one-parameter groups of $\ast$-automorphisms describing time evolutions of fermions, in which the particle number of the system changes by time while the Fock vacuum is kept invariant.

研究动机与目标

• 系统构造CAR代数的非线性正规*-自同态，利用代数的无限维性质。
• 描述由这些自同态诱导的表示分支，从而实现可约表示与混合态的构造。
• 建立外*-自同构的框架，其并非Bogoliubov变换，揭示费米子系统中非准自由的时间演化。
• 证明CAR代数的KMS态可通过Fock表示结合偶-CAR自同态获得。
• 识别出描述粒子数随时间变化但保持Fock真空的一参数*-自同构群。

提出的方法

• 利用递归费米子系统（RFS）将CAR代数嵌入Cuntz代数$\mathcal{O}_{2^p}$，并利用已知的$\mathcal{O}_d$代数嵌入公式。
• 通过嵌入与自同态之间的关系，显式构造$\mathcal{O}_{2^p}$的*-自同态，再将其限制到CAR代数上。
• 通过将$\mathcal{O}_{2^p}$的不可约置换表示与*-自同态复合，推导出分支公式，得到不可约CAR表示的直和。
• 利用$\mathcal{O}_{2^p}$上的$U(2^p)$作用，通过在产生/湮灭算符中引入非线性多项式变换，诱导CAR代数的*-自同构。
• 从这些非线性自同构构造一参数*-自同构群，证明其保持Fock真空，同时允许粒子数随时间演化。
• 在Fock表示中计算截断的$n$-点函数，以分析超越线性动力学的非平凡关联结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地构造超越线性（Bogoliubov）变换的CAR代数的正规*-自同态？它们与Cuntz代数结构有何关联？
• RQ2 由*-自同态诱导的分支公式如何导致费米子系统中的可约表示或混合态？
• RQ3 保持Fock真空但随时间允许粒子数变化的非线性*-自同构具有何种物理意义？
• RQ4 如何通过偶-CAR自同态从Fock表示导出CAR代数的KMS态？
• RQ5 截断的非平凡$n$-点函数揭示了非线性时间演化下费米子动力学的何种特征？

主要发现

• 显式构造了一组CAR代数到其偶子代数的*-自同态，表明此类映射非满射且非线性。
• 通过将Fock表示与偶-CAR自同态复合，得到CAR代数的KMS态，证实了自同态与热平衡态之间的联系。
• 识别出一类描述时间演化的*-自同构一参数群，其保持Fock真空但允许粒子数随时间变化。
• 时间演化是非线性的，表现为截断的四点函数及更高阶关联函数非零，表明系统并非（准）自由的。
• 如$\omega_{\rm T}(a_1(t_1)a_2(t_2)a_1^*(t_3)a_2^*(t_4)) = \sin(\theta_2 - \theta_3)\sin(\theta_3 - \theta_4)$的截断四点函数揭示了超越高斯统计的非平凡关联。
• 发现非零的截断五点与六点函数，证实了非线性时间演化中存在高阶关联。