[论文解读] Recursive Integral Method with Cayley Transformation

Ruihao Huang, Jiguang Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 6被引用 7

一句话总结

该论文提出RIM-C，一种用于在复平面上指定区域内计算大规模稀疏非厄米特矩阵束所有特征值的改进特征值求解器。通过将凯利变换与阿诺德里方法整合到递归积分法（RIM）中，RIM-C显著降低了计算成本，并通过一种新型指标增强了鲁棒性，在稳定性与可靠性方面优于MATLAB的'eigs'，尤其在缺乏谱信息时表现更优。

ABSTRACT

Recently, a non-classical eigenvalue solver, called RIM, was proposed to compute (all) eigenvalues in a region on the complex plane. Without solving any eigenvalue problem, it tests if a region contains eigenvalues using an approximate spectral projection. Regions that contain eigenvalues are subdivided and tested recursively until eigenvalues are isolated with a specified precision. This makes RIM an eigensolver distinct from all existing methods. Furthermore, it requires no a priori spectral information. In this paper, we propose an improved version of {\bf RIM} for non-Hermitian eigenvalue problems. Using Cayley transformation and Arnoldi's method, the computation cost is reduced significantly. Effectiveness and efficiency of the new method are demonstrated by numerical examples and compared with 'eigs' in Matlab.

研究动机与目标

• 开发一种适用于大规模非厄米特特征值问题的可靠求解器，且无需事先提供谱信息。
• 降低原始RIM方法的计算成本，该方法依赖于使用密集求解器的重复线性方程组求解。
• 通过基于谱投影的新型指标，提升在给定区域内特征值检测的鲁棒性与效率。
• 实现在各类问题中稳定一致的性能表现，尤其在传统方法如'eigs'严重依赖用户提供的位移时。

提出的方法

• RIM-C使用凯利变换将感兴趣的复平面上的区域映射到单位圆上，将广义特征值问题转化为适合Krylov子空间方法的形式。
• 采用阿诺德里方法高效求解谱投影近似所需的位移线性系统$(A - z_j B)^{-1}f$。
• 该方法采用递归区域分解策略：对包含特征值的区域进行细分，直至区域大小低于指定容差$\epsilon$。
• 使用一种新型鲁棒指标$\delta_S = \left| P\left( \frac{Pf}{\|Pf\|} \right) \right|$检测特征值，提高了对微弱谱分量的敏感性。
• 算法使用固定阈值$\delta_0 = 0.1$判断是否舍弃或细分某区域，最终区域的中心作为特征值的近似值。
• 该方法避免求解完整的特征值问题，转而使用轮廓积分与数值求积来近似谱投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过Krylov子空间技术显著加速大规模非厄米特特征值问题的递归积分法？
• RQ2 在RIM框架中，凯利变换如何改善参数化线性系统求解的条件数与效率？
• RQ3 新型谱投影指标能否提升特征值检测的鲁棒性，特别是在谱分量微弱的区域？
• RQ4 当缺乏理想位移时，RIM-C与'eigs'在性能与稳定性方面相比如何？
• RQ5 RIM-C能否在无需先验谱信息的情况下，可靠地计算大规模问题的特征值？

主要发现

• RIM-C在给定区域内以高精度计算出所有特征值，所有测试案例中均收敛至至少10位小数精度的特征值。
• 在示例1中，RIM-C用时0.185秒计算出10个特征值，而'eigs'用时0.201秒，效率相当。
• 在示例2中，RIM-C用时0.558687秒计算出6个特征值，而'eigs'用时0.333513秒，表明计算成本略高但结果一致。
• 在示例3中，无论位移如何，RIM-C均耗时2.57秒，而'eigs'性能从0.39秒到7.18秒不等，凸显了RIM-C的鲁棒性。
• 在示例4中，RIM-C耗时104.23秒，而'eigs'在使用差位移时耗时1696.7秒，表明RIM-C在不利条件下仍具稳定性。
• 新型指标能稳定地区分含特征值区域（如$\delta_S \approx 0.997$）与不含区域（如$\delta_S \approx 0.0377$），即使仅使用4个求积点亦可。