[论文解读] Recursive QAOA outperforms the original QAOA for the MAX-CUT problem on complete graphs

Eunok Bae, Soojoon Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过解析证明，递归QAOA（RQAOA）在完全图上的MAX-CUT问题中优于标准QAOA，可在第1层达到精确解（近似比=1），而标准QAOA在第1层的近似比严格小于1 − 1/(8n²)。该结果表明RQAOA在NISQ时代能够克服标准QAOA在结构化图上的固有局限性。

ABSTRACT

Quantum approximate optimization algorithms are hybrid quantum-classical variational algorithms designed to approximately solve combinatorial optimization problems such as the MAX-CUT problem. In spite of its potential for near-term quantum applications, it has been known that quantum approximate optimization algorithms have limitations for certain instances to solve the MAX-CUT problem, at any constant level $p$. Recently, the recursive quantum approximate optimization algorithm, which is a non-local version of quantum approximate optimization algorithm, has been proposed to overcome these limitations. However, it has been shown by mostly numerical evidences that the recursive quantum approximate optimization algorithm outperforms the original quantum approximate optimization algorithm for specific instances. In this paper, we analytically prove that the recursive quantum approximate optimization algorithm is more competitive than the original one to solve the MAX-CUT problem for complete graphs with respect to the approximation ratio.

研究动机与目标

• 分析并比较标准QAOA与递归QAOA（RQAOA）在完全图上求解MAX-CUT问题的性能。
• 确定RQAOA是否能够克服标准QAOA在特定图类型上的已知局限性，尤其是其在某些图类上的有界近似比。
• 为RQAOA在完全图上的优越性提供解析证明，这类图的最优解在直觉上是已知的。
• 确立第1层RQAOA可实现精确解（近似比=1），而第1层QAOA即使在原则上也无法实现。

提出的方法

• 本文使用量子伊辛哈密顿量，将具有2n个顶点的完全图上的MAX-CUT问题形式化。
• 利用变分参数β和γ，推导第1层QAOA的代价函数期望值，并计算其可达到的最大值。
• 分析RQAOA过程的递归结构，重点研究其如何通过基于QAOA输出固定反向自旋对来减小问题规模。
• 关键的解析步骤在于证明：对于任意n，第1层QAOA的最大近似比严格小于1 − 1/(8n²)。
• 证明第1层RQAOA通过递归求解子问题并恢复精确基态，可实现恰好为1的近似比。
• 该证明依赖于对QAOA中代价函数最大期望值的上界估计，并与经典最大割值进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 递归QAOA（RQAOA）是否能在完全图上求解MAX-CUT问题时优于标准QAOA？
• RQ2 RQAOA是否在第1层实现完全图上的精确解（近似比=1），而标准QAOA无法实现？
• RQ3 第1层QAOA在完全图上的近似比的解析上界是多少？与RQAOA相比如何？
• RQ4 为何即使完全图具有高度对称性且最优解已知，标准QAOA仍无法实现精确解？
• RQ5 RQAOA的递归结构能否在解析上证明其在特定图族（如完全图）上保持解的质量？

主要发现

• 第1层RQAOA在具有2n个顶点的完全图上求解MAX-CUT问题时，近似比恰好为1，意味着其找到了精确最优解。
• 对于任意n，第1层QAOA的近似比严格小于1 − 1/(8n²)，证明其无法找到精确解。
• 该解析结果表明，RQAOA克服了标准QAOA在完全图上的一个根本性局限，而完全图的最优解在经典计算中是已知的。
• 性能差距被定量确立：QAOA的近似比与1的差距至少为1/(8n²)，即使在n较大时仍为非零量。
• 该结果首次为RQAOA在非平凡图类上不仅在数值上，而且在严格意义上优于标准QAOA提供了解析证明。
• 本研究指出，即使对于高度对称且围长较小的图，标准QAOA在恒定深度下仍无法实现精确解，而RQAOA可以成功实现。