[论文解读] Reduced bandwidth: a qualitative strengthening of twin-width in minor-closed classes (and beyond)

Édouard Bonnet, O‐joung Kwon+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 12

一句话总结

本文将缩减带宽定义为孪生宽度的定性强化，定义为所有缩减序列中红图最大带宽的最小值。证明了所有真子图闭包图类（包括平面图和有界欧拉亏格图）均具有有界缩减带宽——相较于以往的孪生宽度结果，提供了更紧致的定量界限，例如平面图的缩减带宽至多为466，而欧拉亏格为γ的地图图的缩减带宽为O(γ⁴)。

ABSTRACT

In a reduction sequence of a graph, vertices are successively identified until the graph has one vertex. At each step, when identifying $u$ and $v$, each edge incident to exactly one of $u$ and $v$ is coloured red. Bonnet, Kim, Thomassé and Watrigant [J. ACM 2022] defined the twin-width of a graph $G$ to be the minimum integer $k$ such that there is a reduction sequence of $G$ in which every red graph has maximum degree at most $k$. For any graph parameter $f$, we define the reduced $f$ of a graph $G$ to be the minimum integer $k$ such that there is a reduction sequence of $G$ in which every red graph has $f$ at most $k$. Our focus is on graph classes with bounded reduced bandwidth, which implies and is stronger than bounded twin-width (reduced maximum degree). We show that every proper minor-closed class has bounded reduced bandwidth, which is qualitatively stronger than an analogous result of Bonnet et al.\ for bounded twin-width. In many instances, we also make quantitative improvements. For example, all previous upper bounds on the twin-width of planar graphs were at least $2^{1000}$. We show that planar graphs have reduced bandwidth at most $466$ and twin-width at most $583$. Our bounds for graphs of Euler genus $γ$ are $O(γ)$. Lastly, we show that fixed powers of graphs in a proper minor-closed class have bounded reduced bandwidth (irrespective of the degree of the vertices). In particular, we show that map graphs of Euler genus $γ$ have reduced bandwidth $O(γ^4)$. Lastly, we separate twin-width and reduced bandwidth by showing that any infinite class of expanders excluding a fixed complete bipartite subgraph has unbounded reduced bandwidth, while there are bounded-degree expanders with twin-width at most 6.

研究动机与目标

• 定义并研究缩减带宽作为新的图参数，通过聚焦于缩减序列中的带宽而非最大度数，从而强化孪生宽度。
• 建立所有真子图闭包图类均具有有界缩减带宽，这比有界孪生宽度具有更强的定性条件。
• 为特定图类（包括平面图和有界欧拉亏格图）提供缩减带宽和孪生宽度的改进定量上界。
• 研究缩减带宽与其他图参数之间的关系，特别是在图幂和补图的背景下。
• 通过构造无限图族，其缩减带宽无界但孪生宽度有界，从而实现缩减带宽与孪生宽度的分离，凸显两者之间的严格层级关系。

提出的方法

• 将缩减序列定义为一系列顶点合并操作，其中仅与其中一个合并顶点相连的边被染成红色，从而在每一步形成一个红图。
• 引入缩减带宽的概念：在所有缩减序列中，红图最大带宽的最小值。
• 利用结构图论和子图闭包性质，对子图闭包类中的缩减序列中红图的带宽进行有界。
• 应用图稀疏性和嵌入理论的技术，推导出平面图和有界欧拉亏格图的界限，利用已知的分解定理。
• 为平面图和地图图构造显式的缩减序列，通过路径状红图结构实现所陈述的缩减带宽界限。
• 利用极值图论和膨胀图构造，证明即使孪生宽度有界，缩减带宽仍可能无界，从而确立两者之间的严格分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子图闭包图类中，缩减带宽能否作为比孪生宽度更强的度量？
• RQ2 平面图和有界欧拉亏格图的缩减带宽的最紧可能上界是什么？
• RQ3 真子图闭包类中图的幂是否也具有有界缩减带宽？若是，其定量界限如何？
• RQ4 是否存在一个与缩减带宽自然关联的图参数，类似于已知的组件孪生宽度与弦宽之间的联系？
• RQ5 在排除固定完全二分图子图的单调图类中，缩减带宽是否可能无界，即使孪生宽度有界？

主要发现

• 所有真子图闭包图类均具有有界缩减带宽，这比有界孪生宽度具有更强的定性条件。
• 平面图的缩减带宽至多为466，孪生宽度至多为583，显著优于以往的2^1000数量级上界。
• 欧拉亏格为γ的图具有缩减带宽O(γ)，表现出与亏格的线性依赖关系。
• 真子图闭包类中图的幂具有有界缩减带宽，其中欧拉亏格为γ的地图图的缩减带宽为O(γ⁴)。
• 存在无限多组有界度膨胀图，其孪生宽度至多为6，但缩减带宽无界，证明缩减带宽严格强于孪生宽度。
• n阶图中具有(≥n)-细分的图类，其缩减带宽至多为2，提示缩减带宽可能与排除二分图子图类中的线性扩张紧密相关。