[论文解读] Reduced norms and the Riemann-Roch theorem for Abelian varieties

Nathan Grieve|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了主极化阿贝尔簇（ppav）上除子的黎曼-罗赫定理与自同态代数分量的约化范数之间的精确联系。它表明自相交数 $ D^g/g! $ 等于自同态代数中 $ \lambda $-固定部分上一个齐次多项式函数 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ 的平方，其中 $ \alpha = \Phi_\lambda(D) $。这给出了以自同态代数的代数不变量表示相交数的显式公式。

ABSTRACT

We explain how the Riemann-Roch theorem for divisors on an abelian variety $A$ is related to the reduced norms of the Wedderburn components of $\operatorname{End}^0(A)$ the $\mathbb{Q}$-endomorphism algebra of $A$. We then describe consequences and examples.

研究动机与目标

• 阐明阿贝尔簇上除子的黎曼-罗赫定理与自同态代数 $ \mathrm{End}^0(A) $ 中约化范数之间的关系。
• 明确相交数 $ D^g/g! $ 与 $ \mathrm{End}^0(A) $ 的代数结构（特别是其韦德伯恩分量）之间的显式联系。
• 为 ppav 提供 $ D^g/g! $ 关于 $ \lambda $-固定自同态子代数上约化范数的显式公式。
• 在具体例子中计算并解释多项式 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $，特别是对于四元数代数的乘积。

提出的方法

• 本文利用分解 $ A \simeq \prod A_i^{r_i} $，其中 $ A_i $ 为非同构的简单阿贝尔簇，导出韦德伯恩分解 $ R = \mathrm{End}^0(A) \simeq \prod R_i $，$ R_i \simeq M_{r_i}(\Delta_i) $。
• 从每个单分量定义约化范数 $ \mathrm{Nrd}_{R_i/\mathbb{Q}} $，并构造在 $ \mathrm{End}^0_\lambda(A) $ 上的、次数为 $ g $ 的归一化齐次多项式 $ \mathrm{pNrd}_\lambda $。
• 利用罗萨蒂对合 $ r_\lambda $ 将 $ \mathrm{NS}(A) \simeq \mathrm{End}_\lambda(A) $ 识别，从而将除子类 $ D $ 映射到 $ \alpha \in \mathrm{End}_\lambda(A) $。
• 通过中心单代数中的约化范数与迹理论，推导出关键公式 $ \frac{(D^g)}{g!} = \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $。
• 通过分裂域和矩阵表示进行显式计算，特别针对 $ R = M_2(\mathcal{K}) $ 的情形，其中 $ \mathcal{K} $ 为四元数代数。
• 通过 $ \mathrm{pNrd}_\lambda $ 的二次型诱导的双线性形式，计算相交数 $ D_1 \cdot D_2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ppav，黎曼-罗赫数 $ D^g/g! $ 如何与 $ \mathrm{End}^0(A) $ 的代数结构相关联？
• RQ2 自相交数 $ D^g/g! $ 是否可表示为自同态 $ \alpha = \Phi_\lambda(D) $ 的多项式函数？
• RQ3 多项式 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ 关于 $ \mathrm{End}^0(A) $ 的韦德伯恩分量的约化范数的显式形式是什么？
• RQ4 如何从 $ \Phi_\lambda(D_1) $ 和 $ \Phi_\lambda(D_2) $ 的矩阵表示代数计算相交数 $ D_1 \cdot D_2 $？
• RQ5 什么条件决定了除子 $ D $ 的指标 $ i(D) $，以 $ \alpha = \Phi_\lambda(D) $ 的系数表示？

主要发现

• 对于具有分解 $ A = \prod A_i^{r_i} $ 的 ppav $ A $，黎曼-罗赫数满足 $ \frac{(D^g)}{g!} = \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $，其中 $ \alpha = \Phi_\lambda(D) $。
• 函数 $ \mathrm{pNrd}_\lambda $ 是 $ \mathrm{End}^0_\lambda(A) $ 上的 $ g $ 次齐次多项式，且归一化为在单位元处取值 1。
• 当 $ A = E^{\times 2} $ 且 $ E $ 为具有复乘的椭圆曲线时，有 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) = -w^2ab + z^2b + y^2a + uv - x^2 $，其中 $ \alpha $ 为四元数代数中元素构成的 $ 2\times 2 $ 矩阵。
• 相交数 $ D_1 \cdot D_2 $ 由 $ 2w_1w_2ab + 2z_1z_2b + 2y_1y_2a + u_1v_2 + u_2v_1 - 2x_1x_2 $ 给出，该式源自 $ \mathrm{pNrd}_\lambda $ 的双线性形式。
• 除子 $ D $ 的指标 $ i(D) $ 由 $ \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ 的符号与迹 $ u+v $ 决定，且 $ i(D) = 0, 1, $ 或 $ 2 $，取决于这些量的符号。
• 即使在正特征情况下，只要 $ \mathrm{End}^0(A) $ 被实现为 $ \mathbb{Q} $-上的半单代数，公式 $ \frac{(D^g)}{g!} = \mathrm{pNrd}_\lambda(\alpha) $ 依然成立。