[论文解读] Reduced order modeling of parametrized systems through autoencoders and SINDy approach: continuation of periodic solutions

Paolo Conti, Giorgio Gobat+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种非侵入式、数据驱动的降阶建模框架，结合自编码器（AEs）与稀疏非线性动力学识别（SINDy），从有限的全阶模拟数据中构建低维动力系统。通过将参数依赖性嵌入到识别出的潜空间常微分方程（ODEs）中，该方法实现了对周期解的高效延续，并能准确预测时间与参数范围内的稳态响应，即使在训练数据范围之外也表现良好，已在结构与流体动力学问题中得到验证。

ABSTRACT

Highly accurate simulations of complex phenomena governed by partial differential equations (PDEs) typically require intrusive methods and entail expensive computational costs, which might become prohibitive when approximating steady-state solutions of PDEs for multiple combinations of control parameters and initial conditions. Therefore, constructing efficient reduced order models (ROMs) that enable accurate but fast predictions, while retaining the dynamical characteristics of the physical phenomenon as parameters vary, is of paramount importance. In this work, a data-driven, non-intrusive framework which combines ROM construction with reduced dynamics identification, is presented. Starting from a limited amount of full order solutions, the proposed approach leverages autoencoder neural networks with parametric sparse identification of nonlinear dynamics (SINDy) to construct a low-dimensional dynamical model. This model can be queried to efficiently compute full-time solutions at new parameter instances, as well as directly fed to continuation algorithms. These aim at tracking the evolution of periodic steady-state responses as functions of system parameters, avoiding the computation of the transient phase, and allowing to detect instabilities and bifurcations. Featuring an explicit and parametrized modeling of the reduced dynamics, the proposed data-driven framework presents remarkable capabilities to generalize with respect to both time and parameters. Applications to structural mechanics and fluid dynamics problems illustrate the effectiveness and accuracy of the proposed method.

研究动机与目标

• 解决参数化、时间依赖的PDE在多种参数与初始条件组合下的全阶模型（FOMs）计算成本过高的问题。
• 克服侵入式ROM与标准数据驱动代理模型在可解释性、泛化能力及时间或参数外推下的稳定性方面的局限。
• 开发一种非侵入式、可解释且泛化能力强的降阶模型，通过潜空间系统识别捕捉复杂系统的内在动力学。
• 实现在无需模拟瞬态过程的情况下对周期稳态解进行延续，从而促进分岔检测与失稳分析。
• 构建一个在时间与参数空间上均能超越训练数据范围泛化的框架，通过SINDy实现物理一致性。

提出的方法

• 使用本征正交分解（POD）从全阶解的快照中提取空间模态。
• 训练前馈自编码器，将高维解场映射到低维潜空间，同时保留关键动力学特征。
• 应用参数化稀疏非线性动力学识别（SINDy）在潜空间中识别出稀疏的常微分方程（ODE）系统，同时引入参数依赖性。
• 构建显式建模系统参数如何影响动力学演化的参数化潜空间ODE系统。
• 利用识别出的潜空间ODE模型进行长时间积分与数值延续，以追踪周期解与分岔。
• 通过解码器与POD模态重建全阶解，实现物理可解释性与验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结合自编码器与SINDy的数据驱动、非侵入式ROM框架，在极少训练数据下准确建模参数化PDE的动力学？
• RQ2 所识别的潜动力系统在训练数据范围之外的新参数值与长时间范围内的泛化能力如何？
• RQ3 参数化潜空间ODE模型是否能支持延续技术，以高效计算周期稳态解而无需模拟瞬态过程？
• RQ4 该框架在流体动力学问题中检测分岔及流动状态转变（如层流到非定常流）的能力如何？
• RQ5 与标准基于深度学习的ROM相比，SINDy驱动的稀疏性与物理一致性是否能提升鲁棒性并减少过拟合？

主要发现

• AE+SINDy框架成功为简支-简支梁识别出一维潜动力系统，实现了对训练范围外新参数下稳态响应的精确预测。
• 对于绕圆柱的流场问题，该方法准确捕捉了层流与非定常流两种流动状态，并正确识别出流动开始出现涡旋脱落的雷诺数。
• 通过潜空间模型进行延续计算得到的分岔图与全阶快照中观察到的物理行为高度一致，证实了该方法在检测动力学定性变化方面的准确性。
• 潜ODE模型实现了周期解的稳定且精确的长时间积分，即使在远离训练数据的测试实例中也表现稳健，展示了对时间与参数外推的鲁棒性。
• 该框架在计算成本极低的情况下实现了高精度，同时保持非侵入性，仅需少量FOM快照，且推理阶段无需访问底层PDE算子。
• 将SINDy与参数化潜动力学结合，相比纯粹黑箱深度学习代理模型，显著提升了可解释性并减少了过拟合，表现为延续与泛化性能的稳定性。