[论文解读] Reduced order modelling of fully coupled electro-mechanical systems through invariant manifolds with applications to microstructures

Attilio Frangi, Alessio Colombo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2023

Advanced MEMS and NEMS Technologies被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对完全耦合的压电-机械微机电系统（MEMS）的新型降阶建模方法，采用不变流形的直接参数化方法（DPIM）。通过构建带有显式多项式非线性的混合全拉格朗日弱式，该方法实现了对静电驱动微结构非线性振动的高阶、高精度降阶建模，成功以高保真度捕捉了复杂动力学行为，如硬化到软化的转变以及次谐共振现象。

ABSTRACT

This paper presents the first application of the direct parametrisation method for invariant manifolds to a fully coupled multiphysics problem involving the nonlinear vibrations of deformable structures subjected to an electrostatic field. The formulation proposed is intended for model order reduction of electrostatically actuated resonating Micro-Electro-Mechanical Systems (MEMS). The continuous problem is first rewritten in a manner that can be directly handled by the parametrisation method, which relies upon automated asymptotic expansions. A new mixed fully Lagrangian formulation is thus proposed which contains only explicit polynomial nonlinearities, which is then discretised in the framework of finite element procedures. Validation is performed on the classical parallel plate configuration, where different formulations using either the general framework, or an approximation of the electrostatic field due to the geometric configuration selected, are compared. Reduced-order models along these formulations are also compared to full-order simulations operated with a time integration approach. Numerical results show a remarkable performance both in terms of accuracy and wealth of nonlinear effects that can be accounted for. In particular, the transition from hardening to softening behaviour of the primary resonance while increasing the constant voltage component of the electric actuation, is recovered. Secondary resonances leading to superharmonic and parametric resonances are also investigated with the reduced-order model.

研究动机与目标

• 解决完全耦合电-机械系统中固有非线性特性带来的降阶建模挑战。
• 克服传统公式中静电力的非多项式特性，使其适用于基于渐近展开的降阶方法。
• 开发一种通用且与几何无关的公式，兼容有限元离散化与不变流形技术。
• 通过与全阶模拟及基准解对比，验证降阶模型在MEMS非线性共振行为中的准确性。
• 实现对复杂非线性现象（如硬化到软化的转变以及次谐共振）在振荡微结构中的精确预测。

提出的方法

• 提出一种新型混合全拉格朗日弱式，将电-机械问题重写于原始构型中，引入辅助场以表示电场。
• 该公式确保所有非线性项均为显式多项式形式，从而可直接应用于任意阶渐近展开的DPIM。
• 通过有限元法对控制方程进行半离散化，得到适用于非自治DPIM的微分-代数方程组。
• 采用自动化渐近展开方法推导出能捕捉非线性模态作为相空间中不变流形的降阶模型（ROM）。
• 对ROM应用延续技术，以追踪频率响应曲线并分析分岔行为。
• 通过时间积分与平行板结构的解析基准解对比，验证了ROM的预测性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否成功将不变流形的直接参数化方法（DPIM）扩展至具有非多项式非线性的完全耦合电-机械系统？
• RQ2 如何对本质上非多项式的静电力进行重新表述，以支持在降阶建模中实现高阶渐近展开？
• RQ3 所提出的ROM在多大程度上能够准确捕捉MEMS中如硬化到软化的转变及次谐共振等复杂非线性动力学行为？
• RQ4 展开中非自治项的阶数如何影响ROM的精度与收敛性？
• RQ5 与全阶有限元模拟相比，所提出的ROM在计算效率方面表现如何？

主要发现

• 所提出的混合全拉格朗日弱式成功地将非多项式静电非线性项转化为显式多项式形式，使DPIM得以应用。
• ROM准确捕捉了随着直流电压分量增加，主共振中从硬化行为向软化行为的转变，与全阶模拟结果一致。
• 次谐共振（包括超谐波共振与参数共振）被降阶模型成功再现。
• ROM在O(9,3)阶达到收敛，而高于O(9,5)阶的项对解的影响可忽略不计。
• 计算成本显著降低：O(7,1)阶的ROM构建耗时不足1分钟，O(9,5)阶最多约25分钟；每次延续曲线计算耗时10秒至1分钟不等。
• 比例刚度阻尼对分岔分支的收敛至关重要，而比例质量阻尼则导致解发散，凸显了ROM对阻尼特性的精确表征能力。