[论文解读] Reduced order models for control of fluids using the Eigensystem Realization Algorithm

Zhanhua Ma, Sunil Ahuja+1 more|Jul 10, 2009

Model Reduction and Neural Networks被引用 3

一句话总结

本文证明，特征系统实现算法（ERA）可为流体控制生成与平衡 Proper Orthogonal Decomposition（平衡POD）理论等价的降阶模型，从而在无需伴随模拟的情况下实现精确且计算高效的模型。与标准POD不同，ERA仅使用实验或仿真数据即可实现平衡模型精度，为实际流体控制应用提供了一种实用的替代方案，计算成本极低且无需伴随信息。

ABSTRACT

In feedback flow control, one of the challenges is to develop mathematical models that describe the fluid physics relevant to the task at hand, while neglecting irrelevant details of the flow in order to remain computationally tractable. A number of techniques are presently used to develop such reduced-order models, such as proper orthogonal decomposition (POD), and approximate snapshot-based balanced truncation, also known as balanced POD. Each method has its strengths and weaknesses: for instance, POD models can behave unpredictably and perform poorly, but they can be computed directly from experimental data; approximate balanced truncation often produces vastly superior models to POD, but requires data from adjoint simulations, and thus cannot be applied to experimental data. In this paper, we show that using the Eigensystem Realization Algorithm (ERA) \citep{JuPa-85}, one can theoretically obtain exactly the same reduced order models as by balanced POD. Moreover, the models can be obtained directly from experimental data, without the use of adjoint information. The algorithm can also substantially improve computational efficiency when forming reduced-order models from simulation data. If adjoint information is available, then balanced POD has some advantages over ERA: for instance, it produces modes that are useful for multiple purposes, and the method has been generalized to unstable systems. We also present a modified ERA procedure that produces modes without adjoint information, but for this procedure, the resulting models are not balanced, and do not perform as well in examples. We present a detailed comparison of the methods, and illustrate them on an example of the flow past an inclined flat plate at a low Reynolds number.

研究动机与目标

• 开发一种无需伴随模拟数据即可构建流体流动精确平衡降阶模型的方法。
• 解决平衡POD的局限性，即其依赖于实验环境中不可用的伴随信息。
• 提高从高维流体模拟生成降阶模型的计算效率。
• 从精度、计算成本和实验数据适用性方面，将ERA与平衡POD及标准POD进行比较。
• 探索使用ERA处理不稳定或非线性系统的方法，拓展其在当前方法之外的适用性。

提出的方法

• 将特征系统实现算法（ERA）应用于流体模拟或实验的快照数据，以构建降阶模型。
• 从脉冲响应快照构建广义Hankel矩阵，以提取系统模态和动力学特性。
• 对Hankel矩阵进行奇异值分解（SVD），以提取平衡模态，确保Gramian矩阵平衡且系统稳定。
• 通过使用相同数据和投影基底，直接比较ERA与平衡POD的结果，构建相同的降阶模型。
• 采用伪逆的改进型ERA变体，无需伴随数据即可生成双正交模态，但无法保证平衡性。
• 将全系统输出投影到前导POD模态上，以比较频率响应并验证模型精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 ERA能否为线性流体系统生成与平衡POD理论等价的降阶模型？
• RQ2 ERA是否在无需伴随模拟数据的情况下实现与平衡POD相当的精度？
• RQ3 在从模拟数据构建降阶模型时，ERA的计算成本与平衡POD相比如何？
• RQ4 ERA能否有效应用于伴随信息不可用的实验数据？
• RQ5 采用伪逆生成无伴随数据的双正交模态的改进型ERA方法存在哪些局限性？

主要发现

• ERA生成的降阶模型在理论上与平衡POD完全一致，证实ERA在无需伴随系统的情况下可实现近似平衡截断。
• 在从模拟数据构建降阶模型时，ERA的计算成本相比平衡POD降低了10倍。
• ERA模型几乎完美地匹配全系统频率响应，优于标准POD和采用伪伴随模态的改进型ERA。
• 30模态的ERA模型对通道流中瞬态放大的捕捉精度几乎与30模态的平衡POD模型相当，而17模态的POD模型则无法捕捉该现象。
• 采用伪伴随模态的ERA生成了响应谱中的虚假峰值，表明尽管生成了双正交模态，但性能极差。
• ERA与平衡POD模型之间的微小差异源于平衡POD中使用的离散伴随算子的数值不准确性，而非方法本身所致。