[论文解读] Reduced order models for nonlinear radiative transfer based on moment equations and POD/DMD of Eddington tensor

Joseph M. Coale, Dmitriy Y. Anistratov|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 55被引用 1

一句话总结

本文提出了一类新型的降阶模型（ROMs），用于非线性热辐射传输，采用矩方程和基于POD、DMD及DMD-E的数据驱动方法对Eddington张量进行近似。该ROMs在低秩表示下实现了高精度，误差随阶数增加而收敛，且在精度上优于DMD变体，同时保持了守恒定律。

ABSTRACT

A new group of reduced-order models (ROMs) for nonlinear thermal radiative transfer (TRT) problems is presented. They are formulated by means of the nonlinear projective approach and data compression techniques. The nonlinear projection is applied to the Boltzmann transport equation (BTE) to derive a hierarchy of low-order moment equations. The Eddington (quasidiffusion) tensor that provides exact closure for the system of moment equations is approximated via one of several data-based methods of model-order reduction. These methods are the (i) proper orthogonal decomposition, (ii) dynamic mode decomposition (DMD), (iii) an equilibrium-subtracted DMD variant. Numerical results are presented to demonstrate the performance of these ROMs for the simulation of evolving radiation and heat waves. Results show these models to be accurate even with very low-rank representations of the Eddington tensor. As the rank of the approximation is increased, the errors of solutions generated by the ROMs gradually decreases.

研究动机与目标

• 开发用于非线性热辐射传输（TRT）的降阶模型（ROMs），在计算效率高且精度高的前提下实现性能优化。
• 解决在多尺度、多物理场问题中求解Boltzmann输运方程（BTE）时计算成本过高的问题。
• 利用数据驱动的模型降阶技术——POD、DMD和DMD-E——对基于矩的TRT系统中的Eddington张量进行近似。
• 通过构建参数化ROMs，实现TRT问题的高效参数采样和设计研究。
• 确保在离散化的矩方程中保持辐射能量和动量的守恒。

提出的方法

• 通过从Boltzmann输运方程（BTE）的非线性投影中推导出的低阶矩方程，构建多级拟扩散（QD）系统。
• 利用组Eddington张量和谱平均Eddington张量，对矩系统进行闭合，以获得有效的灰体方程。
• 采用本征正交分解（POD）、动态模式分解（DMD）以及一种去除平衡项的DMD变体（DMD-E），对Eddington张量实施数据驱动的降维处理。
• 利用来自高保真BTE解的训练数据，在整个相空间和时间区间上对Eddington张量进行低秩近似。
• 采用保守格式对矩方程进行离散化，以保持辐射能量和动量的守恒定律。
• 使用相对误差容差ξrel控制低秩近似的阶数，从而实现精度的可调。

实验结果

研究问题

• RQ1 数据驱动的模型降阶技术能否在非线性TRT问题中有效近似Eddington张量，且精度损失最小？
• RQ2 基于POD、DMD和DMD-E的ROM在Eddington张量近似不同阶数下的精度表现如何比较？
• RQ3 在ROM中，辐射温度和能量的误差是否随相对误差容差ξrel减小而线性收敛？
• RQ4 ROM能否在实现显著降维的同时保持能量和动量的守恒？
• RQ5 基于DMD的ROM在低秩近似下的数值稳定性特性如何？与基于POD的ROM相比有何差异？

主要发现

• POD基ROM在所有测试的ξrel值下均表现出最低的误差，优于DMD和DMD-E变体。
• 在ξrel = 10−2和10−4时，POD和DMD-E基DDET ROM在最低阶数下达到了相近的精度，表明其在低秩下具有优异性能。
• POD ROM中辐射温度和能量的误差随ξrel减小而线性收敛，证实了精度随阶数增加而可预测地降低。
• DMD ROM的误差略高于POD，但在ξrel = 10−10之前收敛速率相似；此后数值误差占主导。
• DMD-E ROM在低秩下表现出数值不稳定性，随着ξrel减小，误差未呈现稳定收敛趋势。
• 所有ROM在低秩下均在温度和能量上表现出空间和时间上均匀的误差，表明在整个区域中性能一致。