[论文解读] Reduced order models for the incompressible Navier-Stokes equations on collocated grids using a 'discretize-then-project' approach

Sabrina Kelbij Star, Benjamin Sanderse+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 83被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的‘先离散后投影’降阶模型（ROM），用于在结构化非结构网格上求解不可压Navier-Stokes方程，无需采用压力稳定化或边界控制技术。通过将完全离散的有限体积全阶模型（FOM）——采用不一致或一致通量时间离散化——投影到降阶基上，该方法实现了准确的、满足离散散度自由的流速场，并显著提升了计算速度，其中在采用不一致通量方法的开腔流问题中，最高可实现100倍的速度提升。

ABSTRACT

A novel reduced order model (ROM) for incompressible flows is developed by performing a Galerkin projection based on a fully (space and time) discrete full order model (FOM) formulation. This 'discretize-then-project' approach requires no pressure stabilization technique (even though the pressure term is present in the ROM) nor a boundary control technique (to impose the boundary conditions at the ROM level). These are two main advantages compared to existing approaches. The fully discrete FOM is obtained by a finite volume discretization of the incompressible Navier-Stokes equations on a collocated grid, with a forward Euler time discretization. Two variants of the time discretization method, the inconsistent and consistent flux method, have been investigated. The latter leads to divergence-free velocity fields, also on the ROM level, whereas the velocity fields are only approximately divergence-free in the former method. For both methods, accurate results have been obtained for test cases with different types of boundary conditions: a lid-driven cavity and an open-cavity (with an inlet and outlet). The ROM obtained with the consistent flux method, having divergence-free velocity fields, is slightly more accurate but also slightly more expensive to solve compared to the inconsistent flux method. The speedup ratio of the ROM and FOM computation times is the highest for the open cavity test case with the inconsistent flux method.

研究动机与目标

• 开发一种用于不可压Navier-Stokes方程的降阶模型（ROM），避免使用压力稳定化和边界控制技术。
• 通过采用一致通量时间离散化方法，确保降阶模型中离散散度自由的流速场。
• 实现在工业CFD代码中常用的结构化非结构网格上高效、准确且稳定的降阶模型。
• 在具有不同边界条件的基准测试案例（包括顶盖驱动流和开腔流）上展示该方法的性能。
• 量化不一致与一致通量降阶模型公式在速度提升与精度之间的权衡。

提出的方法

• 该方法采用‘先离散后投影’策略，即在将全阶模型（FOM）进行空间与时间上的完全离散化后，再将其投影到降阶基上。
• 在结构化非结构网格上采用有限体积法与显 Euler 时间推进格式，包含两种变体：不一致通量（仅在单元中心定义速度）与一致通量（强制在面中心定义速度以满足离散散度自由条件）。
• 采用本征正交分解（POD）从FOM快照中生成降阶基。
• 对完全离散的FOM方程应用Galerkin投影，将动量方程与连续性方程同时投影到降阶基空间中。
• 通过将FOM中离散的边界向量投影到降阶基上，实现在降阶模型层面直接施加边界条件，从而无需使用罚函数或提升函数。
• 最终得到的ROM以极低自由度求解，可在实时环境中运行，支持快速参数化与实时仿真。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在结构化非结构网格上构建一种无需依赖压力稳定化技术的不可压Navier-Stokes方程降阶模型？
• RQ2 能否在不使用罚函数或提升函数等边界控制方法的情况下，在降阶模型中准确施加边界条件？
• RQ3 在不一致与一致通量时间离散化方法之间进行选择，如何影响降阶模型的精度与计算成本？
• RQ4 与全阶模型相比，该降阶模型在不同流动构型下可实现多高的速度提升？
• RQ5 降阶基模态数量如何影响降阶模型的预处理阶段与在线求解阶段？

主要发现

• 采用一致通量方法的ROM在离散层面可生成满足散度自由的流速场，相比不一致通量方法，精度略有提升。
• 不一致通量方法在开腔流测试案例中实现了最高的速度提升比——最高达100倍，优于顶盖驱动流案例。
• 由于需额外求解面速度方程，一致通量方法计算成本略高，但保持了更好的稳定性和精度。
• 该方法成功消除了对压力稳定化与边界控制技术的需求，简化了实现流程并增强了模型鲁棒性。
• 仅当模态数量较高时，预处理阶段才成为主导因素，但在所测试的配置中，这并非限制性因素。
• 该方法可通过可分离算子扩展至参数化问题，包括时间依赖与物理参数（如粘性系数）的参数化。