[论文解读] Reduced two-type decomposable critical branching processes with possibly infinite variance

Charline Smadi, Vladimir Vatutin|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文研究了具有无限方差的两类型可分解临界分支过程的系谱结构，重点分析在给定存活条件下，缩减过程和最近共同祖先（MRCA）的渐近行为。研究识别出三种不同类型共存的独立模式，并推导出MRCA出生时间与类型的极限分布，表明当后代方差无限时，MRCA通常为类型2个体，其时间分布具有重尾特征。

ABSTRACT

We consider a Galton-Watson process $\mathbf{Z}% (n)=(Z_{1}(n),Z_{2}(n))$ with two types of particles. Particles of type 2 may produce offspring of both types while particles of type 1 may produce particles of their own type only. Let $Z_{i}(m,n)$ be the number of particles of type $i$ at time $m

研究动机与目标

• 理解在时间 n 处存活条件下的两类型可分解 Galton-Watson 分支过程的系谱结构。
• 刻画缩减过程 Z(m,n) 的渐近行为，该过程统计在时间 m 的粒子数量，其在时间 n 有后代。
• 在不同参数区域下，确定最近共同祖先（MRCA）的出生时间 βₙ 和类型 Tₙ 的分布。
• 将现有针对具有无限方差的临界分支过程的研究结果，扩展至多类型、可分解的设定，其中类型1粒子仅产生类型1后代。

提出的方法

• 使用生成函数 F₁(s₁) 和 F₂₁(s₁,s₂) 建模后代分布，假设其尾部具有幂律形式，指数分别为 1+α₁ 和 1+α₂。
• 应用正规变体理论和稳定分布的吸引域结果，以处理后代分布中的无限方差。
• 在给定 Z(n) ≠ 0 的条件下分析过程，通过 n → ∞ 时的渐近分析，推导出 Z(m,n) 的极限分布。
• 通过收敛到具有特定后代分布的连续时间马尔可夫分支过程，推导出 MRCA 出生时间 βₙ 和类型 Tₙ 的极限分布。
• 基于参数 α₁、α₂ 和 A₂₁ 建立三种不同的参数区域，对应于两种类型不同的共存模式。
• 使用随机耦合与分布收敛方法，证明经缩放后的缩减过程收敛到具有特定跳跃动态的连续时间马尔可夫过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当后代方差无限且过程在时间 n 处存活时，两类型可分解临界分支过程的系谱行为如何？
• RQ2 在不同参数区域下，MRCA 出生时间与类型的极限分布是什么？
• RQ3 当方差无限时，类型1与类型2粒子对存活种群的相对贡献如何随时间演变？
• RQ4 两种类型的三种不同共存区域是什么？它们如何影响系谱树的结构？
• RQ5 当存在突变或迁移（即类型2粒子可产生类型1后代）时，对最近共同祖先的出现时间有何影响？

主要发现

• 当初始粒子为类型2时，MRCA 为类型2个体的概率为 α₂/(1+α₂)，为类型1个体的概率为 1/(1+α₂)。
• 当 α₂ < 1 时，MRCA 出生时间 βₙ 的极限分布集中在整个时间区间 [0,n] 上，其密度非退化且连续。
• 当 α₂ < 1 时，MRCA 在时间 an 之前出生的概率（a ∈ (0,1)）收敛于 a/(1+α₂)，表明 MRCA 时间具有重尾分布。
• 当 α₂ = 1 时，MRCA 出生时间 βₙ 依分布收敛到一个依赖于参数 b 和参数 σ 的随机变量。
• 缩减过程 Z(m,n) 依分布收敛到具有特定后代律的连续时间马尔可夫分支过程：以概率 1/(1+α₂)，一个类型2个体产生一个类型1后代且无类型2后代；以概率 α₂/(1+α₂)，它产生至少两个类型2后代。
• 存活概率 Q₂₁(n) 以 n^(-1/α₂) 乘以一个缓慢变化函数的速率衰减，证实了在无限方差下过程的临界性。