[论文解读] Reduced words for clans

Brian Burks, Brendan Pawlowski|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文为弱序中关于族（clans）的约化字词建立了类似Matsumoto-Tits的定理——这些组合对象用于索引 $\mathrm{GL}(\mathbb{C}^p)\times\mathrm{GL}(\mathbb{C}^q)$ 在旗流形上的轨道。本文引入了一种字词上的等价关系，以捕捉族的约化字词集合，证明这些集合是等价类的并集，并通过标准与偏移标准表给出枚举公式，利用对称函数与钩长公式精确计数。

ABSTRACT

Clans are combinatorial objects indexing the orbits of $GL(\mathbb{C}^p) imes GL(\mathbb{C}^q)$ on the variety of flags in $\mathbb{C}^{p+q}$. This geometry leads to a partial order on the set of clans analogous to weak Bruhat order on the symmetric group, and we study the saturated chains in this order. We prove an analogue of the Matsumoto-Tits theorem on reduced words in a Coxeter group. We also obtain enumerations of reduced word sets for particular clans in terms of standard tableaux and shifted standard tableaux.

研究动机与目标

• 为弱序中族的约化字词发展一个组合框架，将Coxeter群中的Matsumoto-Tits定理推广。
• 通过一种尊重轨道几何结构的字词等价关系，刻画族的约化字词集合的结构。
• 利用标准与偏移标准表对特定族的约化字词进行枚举。
• 建立涉及Schur函数与Schur Q-函数的对称函数恒等式，以编码族偏序集中最大链的数量。

提出的方法

• 定义一个在族上的偏序关系，类比于弱Bruhat序，其覆盖关系由 $[n-1]$ 中的相邻对换标记。
• 引入一个在 $[n-1]$ 上字词的等价关系 $\equiv$，由Coxeter关系与符号翻转规则生成：$a_1\cdots a_\ell \equiv (n-a_1)a_2\cdots a_\ell$，以捕捉族几何的对称性。
• 使用与族 $\gamma$ 关联的对称函数 $F_\gamma$，其中单项式系数表示 $\gamma$ 的约化字词数量，扩展Stanley对排列的框架。
• 建立无匹配族与 $[p]\times[q]$ 内部的分拆之间的双射，将 $F_\gamma$ 关联到 Schur 函数乘积 $s_{\lambda^+}s_{\lambda^-}$。
• 应用偏移钩长公式，计算形状为 $\lambda = (n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)$ 的无标记标准偏移表的个数，该数即为最大链的数量。
• 证明 $\sum_{\gamma \text{ 无匹配}} F_\gamma = 2^q P_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)} = Q_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)}$，将求和与Schur Q-函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管约化字词集合并非单个等价类，能否将Matsumoto-Tits型定理从Coxeter群推广到族的弱序？
• RQ2 族的约化字词集合如何与对称函数关联？能否通过标准与偏移标准表实现枚举？
• RQ3 在 $(p,q)$-族的弱序中，最大链的确切数量是多少？其如何通过对称函数恒等式编码？
• RQ4 无匹配族的组合结构与偏移杨表之间有何关系？这一关系如何导出对称函数恒等式？
• RQ5 在何种条件下，对称函数 $2^{\kappa(z)}\hat{F}_z$ 等于单个Schur Q-函数？这与约化字词的计数有何关联？

主要发现

• 由Coxeter关系与符号翻转规则 $a_1\cdots a_\ell \equiv (n-a_1)a_2\cdots a_\ell$ 生成的字词等价关系 $\equiv$ 确保每个约化字词集合 $\mathcal{R}(\gamma)$ 是等价类的并集，且这是最强的此类关系。
• 对任意族 $\gamma$，约化字词集合 $\mathcal{R}(\gamma)$ 是 $\equiv$ 下等价类的并集，且 $a \equiv b$ 当且仅当它们属于所有族的同一约化字词集合。
• 无匹配族的对称函数之和 $\sum_{\gamma \text{ 无匹配}} F_\gamma$ 等于 $2^q P_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)}$，也等于Schur Q-函数 $Q_{(n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)}$，从而确立了一个对称函数恒等式。
• 在 $\mathrm{Clan}_{p,q}$ 中，最大链的数量为 $2^{pq} g^{\lambda}$，其中 $g^{\lambda}$ 是形状 $\lambda = (n-1,n-3,\ldots,n-2q+1)$ 的无标记标准偏移表的个数，通过偏移钩长公式计算。
• 在 $\sum_{\gamma \text{ 无匹配}} F_\gamma$ 中，$x_1x_2\cdots x_{pq}$ 的系数为 $2^{pq} g^{\lambda}$，与最大链数量一致，从而验证了枚举公式。
• 映射 $\gamma \mapsto \lambda^+ (\gamma)$ 给出了无匹配 $(p,q)$-族与 $[p]\times[q]$ 内部分拆之间的双射，且 $\lambda^-(\gamma)^t = \lambda^+(\gamma)^\vee$，从而导出恒等式 $\sum_{\lambda \subseteq [p]\times[q]} s_\lambda s_{\lambda^{\vee t}} = Q_{(p+q-1,p+q-3,\ldots,p-q+1)}$。