[论文解读] Reducibility, differentiable rigidity and Lyapunov exponents for quasi-periodic cocycles on ${\bf T}times SL(2,{\bf R})$

Raphaël Krikorian|ArXiv.org|Feb 20, 2004

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文建立了 𝕋 × SL(2,ℝ) 上光滑准周期幂零上同调的非微扰约化结果：若纤维旋转数为迪奥封丁数，且纤维乘积在 C⁰ 拓扑下一致有界，则该上同调为 C∞-约化。此结果蕴含光滑拓扑下正李雅普诺夫指数的可微刚性与 C∞-稠密性，推广至薛定谔上同调与二维频率保守系统。

ABSTRACT

Given $α$ in some set $Σ$ of total (Haar) measure in ${\bf T}={\bf R}/{\bf Z}$, and $A\in C^{\infty}({\bf T},SL(2,{\bf R}))$ which is homotopic to the identity, we prove that if the fibered rotation number of the skew-product system $(α,A):{\bf T} imes SL(2,{\bf R}) o {\bf T} imes SL(2,{\bf R})$, $(α,A)(θ,y)=(θ+α,A(θ)y)$ is diophantine with respect to $α$ and if the fibered products are uniformly bounded in the $C^0$-topology then the cocycle $(α,A)$ is $C^\infty$-reducible --that is $A(\cdot)=B(\cdot+α)A_0 B(\cdot)^{-1}$, for some $A_0\in SL(2,{\bf R})$, $B\in C^{\infty}({\bf T},SL(2,{\bf R}))$. This result which can be seen as a non-pertubative version of a theorem by L.H. Eliasson has two interesting corollaries: the first one is a result of differentiable rigidity: if $α\inΣ$ and the cocycle $(α,A)$ is $C^0$-conjugated to a constant cocycle $(α,A_0)$ with $A_0$ in a set of total measure in $SL(2,{\bf R})$ then the conjugacy is $C^\infty$; the second consequence is: if $α\in Σ$ is fixed then the set of $A\in C^\infty({\bf T},SL(2,{\bf R}))$ for which $(α,A)$ has positive Lyapunov exponent is $C^\infty$-dense. A similar result is true for the Schrödinger cocycle and for 2-frequencies conservative differential equations in the plane.

研究动机与目标

• 在迪奥封丁旋转数与纤维乘积在 C⁰ 拓扑下一致有界条件下，建立 𝕋 × SL(2,ℝ) 上光滑准周期上同调的非微扰约化结果。
• 证明可微刚性：若上同调在某个全测度集参数下 C⁰-共轭于常值上同调，则该共轭为 C∞。
• 对于固定的迪奥封丁数 α，光滑 A 中具有正李雅普诺夫指数的集合在 C∞(𝕋, SL(2,ℝ)) 中为 C∞-稠密。
• 将上述结果推广至薛定谔上同调与平面中二维频率保守微分方程。

提出的方法

• 利用纤维旋转数作为动力学不变量，通过上同调作用在圆丛上的提升来定义。
• 应用赫尔曼–约翰逊–莫泽定理，确保在基旋转唯一遍历性下旋转数的存在性与一致收敛性。
• 通过谱集使用全纯延拓技术处理转移泛函 m±(λ,x)，结合蒙泰尔定理与正规族。
• 利用恒等式 I − 4ImJ = 0（由富比尼与施瓦茨反射得出），推导出 m±(λ,x) 沿谱集的全纯延拓，从而推出 C⁰-共轭于 SO(2,ℝ)-取值上同调。
• 通过 m±(λ,x) 的对数导数的积分，推导出关键不等式 4liminf_{Imλ→0+} Re~w(λ)/Imλ ≥ I(λ₀)。
• 利用公式 ∂λw(λ) = −J 将 Weyl m-函数的导数与谱测度联系起来，从而导出恒等式 I − 4ImJ = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，光滑准周期 SL(2,ℝ)-上同调为 C∞-约化？
• RQ2 在迪奥封丁频率与全测度参数集下，C⁰-共轭于常值上同调是否能推出 C∞-共轭？
• RQ3 对于固定的迪奥封丁频率，具有正李雅普诺夫指数的光滑上同调集合是否为 C∞-稠密？
• RQ4 在遍历性条件下，谱转移函数 m±(λ,x) 如何表现？其全纯延拓对约化性有何含义？
• RQ5 这些方法能否推广至薛定谔上同调与二维频率保守系统？

主要发现

• 对于 𝕋 中全哈尔测度集 Σ 内的 α，若纤维旋转数为迪奥封丁数且纤维乘积在 C⁰ 拓扑下一致有界，则上同调 (α,A) 为 C∞-约化。
• 若 α ∈ Σ 且 (α,A) 在全测度子集的 SL(2,ℝ) 参数下 C⁰-共轭于常值上同调 (α,A₀)，则该共轭为 C∞。
• 对于固定的 α ∈ Σ，C∞(𝕋, SL(2,ℝ)) 中具有正李雅普诺夫指数的 A 的集合为 C∞-稠密。
• 上述约化与稠密性结果对薛定谔上同调及平面中二维频率保守微分方程同样成立。
• 谱函数 m±(λ,x) 几乎处处关于 μ 的 x 可全纯延拓至谱集，从而推出 C⁰-共轭于 SO(2,ℝ)-取值上同调。
• 由谱测度与庞加莱度量收缩导出的恒等式 I − 4ImJ = 0 表明旋转数不可能为常数，从而确保非平凡动力学。