[论文解读] Reducibility of finitely differentiable quasi-periodic cocycles and its spectral applications

Ao Cai, Lingrui Ge|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文建立了拟周期薛定谔算子在有限次可微、小势能下的通用康托尔谱性质，并证明了在 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上一类多频 $C^k$ 长程算子的纯点谱。结果基于具有非利昂频率的 $C^k$ $SL(2,\mathbb{R})$-值拟周期柯西积的可约性，表明当此类柯西积接近常数且具有非利昂或有理旋转数时，其可约。

ABSTRACT

In this paper, we prove the generic version of Cantor spectrum for quasi-periodic Schrödinger operators with finitely smooth and small potentials, and we also show pure point spectrum for a class of multi-frequency $C^k$ long-range operators on $\ell^2(\Z^d)$. These results are based on reducibility properties of finitely differentiable quasi-periodic $SL(2,\R)$ cocycles. More precisely, we prove that if the base frequency is Diophantine, then a $C^k$ $SL(2,\R)$-valued cocycle is reducible if it is close to a constant cocycle, sufficiently smooth and the rotation number of it is Diophantine or rational with respect to the frequency.

研究动机与目标

• 将拟周期薛定谔算子中从解析势能到有限次可微势能的通用康托尔谱性质进行推广。
• 利用可约性技术，为 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上的多频 $C^k$ 长程算子建立纯点谱。
• 在非利昂频率和旋转数条件下，证明 $C^k$ $SL(2,\mathbb{R})$-值拟周期柯西积的可约性。
• 将埃利亚松关于康托尔谱的摄动结果从解析情形推广到 $C^k$ 拓扑，其中 $k \geq D_0\tau$，$D_0$ 为大数值常数。
• 表明小的 $C^k$ 扰动会打开坍塌的谱间隙，从而在 $\|\cdot\|_k$-拓扑下暗示通用康托尔谱结构。

提出的方法

• 利用具有非利昂频率和 $C^k$ 正则性的 $SL(2,\mathbb{R})$-值柯西积的可约性理论。
• 应用 KAM 型迭代与平均化方法，在小扰动和非利昂条件下方，将柯西积共轭为常数或抛物型形式。
• 运用间隙标记定理，将旋转数与谱间隙及其坍塌联系起来。
• 通过摄动分析表明，通用的小 $C^k$ 扰动会打开坍塌的间隙，从而暗示通用康托尔谱结构。
• 分析单色矩阵 $S_E^V$ 及其在谱边缘处共轭为单位矩阵或抛物型形式。
• 构造显式共轭映射 $Q$，在通用扰动下将线性化柯西积变换为双曲形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟周期薛定谔算子中，通用康托尔谱性质能否从解析势能推广到 $C^k$ 势能？
• RQ2 当 $C^k$ $SL(2,\mathbb{R})$-值拟周期柯西积接近常数柯西积时，在何种条件下其可约？
• RQ3 在 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上的 $C^k$ 长程算子在非利昂频率下是否具有纯点谱？
• RQ4 通用的小 $C^k$ 扰动如何影响拟周期系统中坍塌的谱间隙？
• RQ5 非利昂旋转数在 $C^k$ 柯西积的可约性与谱结构中起什么作用？

主要发现

• 对于非利昂频率 $\alpha \in \mathrm{DC}_d(\kappa,\tau)$ 且 $k \geq D_0\tau$，当 $\|V\|_k < \epsilon$ 时，对 $C^k(\mathbb{T}^d,\mathbb{R})$ 中的通用 $V$，$H_{V,\alpha,\theta}$ 的谱为康托尔集。
• 在 $\|\cdot\|_k$-拓扑下谱为康托尔集，意味着此类势能的集合在 $C^k$ 拓扑中为剩余集。
• 对于 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 上一类多频 $C^k$ 长程算子，在非利昂频率和小扰动条件下，建立了纯点谱。
• 通用且任意小的 $C^k$ 扰动会打开坍塌的谱间隙，从而暗示康托尔谱结构的通用性。
• 当柯西积足够接近常数且为 $C^k$ 时，若旋转数相对于频率为非利昂或有理数，则 $SL(2,\mathbb{R})$ 柯西积具有可约性。
• 证明依赖于在通用扰动下构造将柯西积变换为双曲形式的共轭，从而确认对小的 $t \neq 0$ 具有统一双曲性。