[论文解读] Reducibility of $n$-ary semigroups: from quasitriviality towards idempotency

Miguel Couceiro, Jimmy Devillet+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2019

semigroups and automata theory参考文献 18被引用 2

一句话总结

本文研究了当至少 $n-1$ 个输入相等时为拟零的结合 $n$-元运算的可约性。证明了此类运算——特别是属于类 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 的运算——可约化为结合的二元运算，并将其完全表征为由一个拟零半群和一个指数整除 $n-1$ 的阿贝尔群构成。主要贡献在于对该类运算的完整结构表征及其可约性的证明，扩展了先前关于拟零和幂等运算的研究结果。

ABSTRACT

Let $X$ be a nonempty set. Denote by $\mathcal{F}^n_k$ the class of associative operations $F\colon X^n o X$ satisfying the condition $F(x_1,\ldots,x_n)\in\{x_1,\ldots,x_n\}$ whenever at least $k$ of the elements $x_1,\ldots,x_n$ are equal to each other. The elements of $\mathcal{F}^n_1$ are said to be quasitrivial and those of $\mathcal{F}^n_n$ are said to be idempotent. We show that $\mathcal{F}^n_1=\cdots =\mathcal{F}^n_{n-2}\subseteq\mathcal{F}^n_{n-1}\subseteq\mathcal{F}^n_n$ and we give conditions on the set $X$ for the last inclusions to be strict. The class $\mathcal{F}^n_1$ was recently characterized by Couceiro and Devillet, who showed that its elements are reducible to binary associative operations. However, some elements of $\mathcal{F}^n_n$ are not reducible. In this paper, we characterize the class $\mathcal{F}^n_{n-1}\setminus\mathcal{F}^n_1$ and show that its elements are reducible. We give a full description of the corresponding reductions and show how each of them is built from a quasitrivial semigroup and an Abelian group whose exponent divides $n-1$.

研究动机与目标

• 表征类 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$，即结合 $n$-元运算，其在至少 $n-1$ 个输入相等时满足 $F(x_1,\dots,x_n) \in \{x_1,\dots,x_n\}$，但整体上并非拟零。
• 确定底层集合 $X$ 的基数满足何种条件时，该类非空。
• 证明 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 中的所有运算均可约化为结合的二元运算。
• 提供此类运算约化的完整结构描述，表明其源于一个拟零半群和一个指数整除 $n-1$ 的阿贝尔群。

提出的方法

• 将类 $F_n^k$ 定义为：当至少 $k$ 个输入相等时为拟零的结合 $n$-元运算。
• 利用嵌套结构 $D_n^k \supseteq D_n^{k+1}$ 分析滤波 $F_n^1 \subseteq F_n^2 \subseteq \cdots \subseteq F_n^n$。
• 证明当 $n \geq 3$ 时 $F_n^1 = F_n^{n-2}$，从而将滤波简化为三个不同的类。
• 通过结构分解表征 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$：运算由一个拟零半群和一个指数整除 $n-1$ 的阿贝尔群构成。
• 通过证明 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 中的运算满足恒等式 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$ 来建立可约性，该恒等式蕴含其可约化为一个结合的二元运算。
• 利用中性元的概念以及 Dudek–Mukhin 可约性准则，将结构与二元约化联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当至少 $n-1$ 个输入相等时为拟零但整体上非拟零的结合 $n$-元运算的精确结构是什么？
• RQ2 在何种条件下，集合 $X$ 使得类 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 非空？
• RQ3 所有 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 中的运算是否均可约化为结合的二元运算？
• RQ4 此类运算的约化如何用已知代数结构完全描述？
• RQ5 底层阿贝尔群的指数在这些运算构造中起什么作用？

主要发现

• 类 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 非空当且仅当 $|X| \geq n$ 且 $n \geq 3$，其中 $|X| \geq n$ 是 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1 \neq \emptyset$ 的必要且充分条件。
• 所有 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 中的运算均可约化为结合的二元运算，其依据为恒等式 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$。
• 约化由一个拟零半群和一个指数整除 $n-1$ 的阿贝尔群构成，其中该群作用于非中性元集合上。
• 当 $|X| \geq n$ 时，类 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$ 严格大于 $F_n^1$，且当 $|X| \geq n$ 时，包含关系 $F_n^{n-1} \subseteq F_n^n$ 也是严格的。
• 此类运算的结构被完全表征：其由子集上的一个拟零二元运算和剩余元素上指数整除 $n-1$ 的群作用决定。
• 本文提供了不依赖先前结果的可约性替代证明，使用恒等式 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$ 作为判断可约化为幂等二元运算的关键准则。