[论文解读] Reducibility of quantum harmonic oscillator on $ R^d$ with differential and quasi-periodic in time potential

Zhenguo Liang, Zhiguo Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2017

Quantum chaos and dynamical systems被引用 7

一句话总结

本文在 $V \in \mathcal{C}^\beta(\mathbb{T}^n, \mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d))$ 且 $\beta$ 足够大的条件下，证明了在 $\mathbb{R}^d$ 上带有谐振子势和小的、$t$-准周期势 $V(\omega t,x)$ 的线性薛定谔方程的可约化性，其中 $V$ 仅在时间上具有有限次连续可微性。关键结果是：对于大多数频率向量 $\omega$，该系统可约化为一个自治哈密顿系统，这意味着所有解在时间上几乎周期，且在适当的索伯列夫范数下一致有界。

ABSTRACT

We improve the results by Grébert and Paturel in \cite{GP} and prove that a linear Schrödinger equation on $R^d$ with harmonic potential $|x|^2$ and small $t$-quasiperiodic potential as $$ { m i}u_t - Δu+|x|^2u+\varepsilon V(ωt,x)u=0, \ (t,x)\in R imes R^d $$ reduces to an autonomous system for most values of the frequency vector $ω\in R^n$. The new point is that the potential $V(θ,\cdot )$ is only in ${\mathcal{C}^β}(T^n, \mathcal{H}^{s}(R^d))$ with $β$ large enough. As a consequence any solution of such a linear PDE is almost periodic in time and remains bounded in some suitable Sobolev norms.

研究动机与目标

• 将具有时间准周期势的量子谐振子的可约化结果推广到势函数仅在时间上有限可微的情形。
• 通过在势函数的 $\mathcal{C}^\beta$ 正则性假设下证明可约化性，弥补现有 KAM 类结果通常要求解析或 Gevrey 类正则性的空白。
• 证明对于大多数频率向量 $\omega$，带有谐振子势和准周期势的线性薛定谔方程可约化为自治系统。
• 在较弱的正则性条件下，建立解在索伯列夫范数下有界且时间上几乎周期的性质。

提出的方法

• 作者使用一种 KAM 类迭代方案，构造一个准周期变换，将原始的非自治系统共轭为一个自治系统。
• 通过赫米特基函数 $\Phi_{j,l}$ 定义希尔伯特空间 $L^2(\mathbb{R}^d)$，这些基函数对谐振子算符 $T = -\Delta + |x|^2$ 实现对角化，并引入加权 $\ell^2$ 空间 $\ell^2_s$ 以度量正则性。
• 假设势函数 $V$ 在时间上为 $\beta$-赫尔德连续，取值于索伯列夫空间 $\mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d)$，从而允许有限可微性而非解析性。
• 证明依赖于对变换算子 $\Psi_\omega$ 在 $\mathcal{C}^{k+b}(\mathbb{T}^n, \mathfrak{L}(\mathcal{H}^{s'}, \mathcal{H}^{s'+2\alpha}))$ 中范数的估计，并通过主要级数法证明其在 $\varepsilon$ 较小时足够小。
• 一个关键技术工具是使用柯西估计和频率空间的 dyadic 分解，以控制 KAM 迭代方案中导数的增长。
• 最终结果通过证明余项以 $\epsilon^{\frac{3}{2\beta}(\frac{2}{9}\beta - \mu)}$ 的速率衰减而得出，其中 $\mu \leq \beta$，从而在正则性条件下保证 KAM 迭代的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限可微性（$\mathcal{C}^\beta$）而非解析性条件下，建立带有准周期势的量子谐振子的可约化性？
• RQ2 为确保解在索伯列夫范数下有界，势函数 $V(\omega t,x)$ 在时间上所需的最小正则性是什么？
• RQ3 当势函数仅有限可微时，KAM 迭代方案的行为如何？此类情况下的收敛速率是什么？
• RQ4 能否保证带有 $\mathcal{C}^\beta$-正则准周期势的线性薛定谔方程具有几乎周期解？
• RQ5 可约化测度对正则性参数 $\beta$ 和 $\varepsilon$ 的小量依赖关系如何？

主要发现

• 在 $V \in \mathcal{C}^\beta(\mathbb{T}^n, \mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d))$ 且 $\beta$ 足够大的条件下，对于频率向量 $\omega \in \mathbb{R}^n$ 的全测度集合，系统可约化为一个自治哈密顿系统。
• 实现可约化的变换 $\Psi_\omega$ 被证明是弗雷chet可微的，其在 $\mathcal{C}^{k+b}(\mathbb{T}^n, \mathfrak{L}(\mathcal{H}^{s'}, \mathcal{H}^{s'+2\alpha}))$ 中的范数有界，满足 $C\epsilon^{\frac{3}{2\beta}(\frac{2}{9}\beta - \mu)}$（其中 $\mu \leq \beta$），从而确保 KAM 迭代的收敛性。
• 由于系统被约化为自治系统，原始 PDE 的所有解在时间上几乎周期，且在所有时间保持在 $\mathcal{H}^{s'}$-范数下有界。
• 该结果改进了 Grébert 和 Paturel [22] 的结果，将 $V$ 的正则性要求从解析或 Gevrey 类降低为足够大的 $\mathcal{C}^\beta$ 有限可微性。
• 该方法表明，即使势函数非解析，KAM 方案仍能收敛，通过使用主要级数和 dyadic 分解控制导数的增长。
• 收敛速率对 $\epsilon$ 和 $\beta$ 的依赖关系被量化，表明只要 $\beta > \frac{9}{2}\mu$，指数即为正，从而保证可约化性成立。