[论文解读] Reducing the rank of a matroid

Gwenaël Joret, Adrian Vetta|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究拟阵中的秩缩减问题，表明对于可交换拟阵，该问题近似难度与最稠密的 $k$-子图问题相当，从而得出强烈的不可近似性结果。本文证明了两个划分拟阵交集的 NP-难问题，并通过证明二分图上的最大点覆盖问题是 NP-难的，解决了长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We consider the rank reduction problem for matroids: Given a matroid M and an integer k, find a minimum size subset of elements of M whose removal reduces the rank of M by at least k. When M is a graphical matroid this problem is the minimum k-cut problem, which admits a 2-approximation algorithm. In this paper we show that the rank reduction problem for transversal matroids is essentially at least as hard to approximate as the densest k-subgraph problem. We also prove that, while the problem is easily solvable in polynomial time for partition matroids, it is NP-hard when considering the intersection of two partition matroids. Our proof shows, in particular, that the maximum vertex cover problem is NP-hard on bipartite graphs, which answers an open problem of B. Simeone.

研究动机与目标

• 研究图拟阵以外的拟阵类中秩缩减问题的计算复杂性。
• 确定可交换拟阵的秩缩减问题是否具有良好的近似算法。
• 解决最大点覆盖问题在二分图上是否为 NP-难的开放性问题。
• 通过归约建立秩缩减问题与最稠密的 $k$-子图问题之间的联系。
• 分析两个划分拟阵交集中秩缩减问题的复杂性。

提出的方法

• 从最稠密的 $k$-子图问题归约到可交换拟阵中的秩缩减问题，表明若秩缩减问题存在 $O(m^\varepsilon)$-近似算法，则最稠密的 $k$-子图问题也存在 $O(n^{4\varepsilon})$-近似算法。
• 从给定图 $H$ 构造一个二分图 $G$，以在可交换拟阵框架下建模最大点覆盖问题，其中元素对应于顶点和边。
• 引入“良好”部分点覆盖和“a-性质”以简化分析，并实现解的迭代改进。
• 利用结构命题，基于顶点覆盖情况将未覆盖边的数量与 $H$ 中边的类型关联，导出公式 $c(X) = ||G|| - e_1(X) - 2e_2(X) - 3e_3(X)$。
• 证明在 $H$ 中存在 $\ell$-团当且仅当在秩缩减问题中可达到最优值 $||G|| - \binom{\ell}{2}$。
• 利用组合界和引理 4.2 证明 $f(x,y,z) \geq \binom{\ell}{2}$，从而推出最大点覆盖问题的最优性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 可交换拟阵的秩缩减问题是否与最稠密的 $k$-子图问题一样难以近似？
• RQ2 可交换拟阵的秩缩减问题是否具有常数因子近似算法？
• RQ3 正如 Simeone 所猜想的那样，最大点覆盖问题在二分图上是否为 NP-难问题？
• RQ4 两个划分拟阵交集中秩缩减问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ5 底层图的结构与可交换拟阵中秩缩减问题最优解之间存在何种关系？

主要发现

• 可交换拟阵的秩缩减问题至少与最稠密的 $k$-子图问题一样难以近似，这意味着若秩缩减问题存在 $O(m^\varepsilon)$-近似算法，则最稠密的 $k$-子图问题也存在 $O(n^{4\varepsilon})$-近似算法。
• 最大点覆盖问题在二分图上是 NP-难的，解决了 B. Simeone 提出的开放性问题。
• 秩缩减问题在划分拟阵中可多项式时间求解，但当考虑两个划分拟阵的交集时，问题变为 NP-难。
• 在构造的可交换拟阵中，秩缩减问题的最优解恰好对应于原图 $H$ 中存在 $\ell$-团，从而实现了从团问题到秩缩减问题的多项式时间归约。
• 当且仅当底层图 $H$ 包含 $\ell$-团时，秩缩减问题的最优值为 $||G|| - \binom{\ell}{2}$。
• 本文建立了未覆盖边数量与辅助图中边类型的紧密联系，通过公式 $c(X) = ||G|| - e_1(X) - 2e_2(X) - 3e_3(X)$ 明确定义。