[论文解读] Reduction and duality in generalized geometry

Shengda Hu|ArXiv.org|Dec 29, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文通过证明在泊松李群作用下仅保留一个广义复结构时，广义凯勒几何中的非交换T对偶性与H-通量的几何实现依然成立，建立了非交换T对偶性与H-通量在广义凯勒几何中的几何实现。它表明，即使群是非交换的，具有H-通量的T对偶性也自然地作为可分解泊松李群作用的约化出现，其中对偶性通过Courant代数胚结构和满足涉及B-变换与联络形式的对偶方程的扭曲形式来编码。

ABSTRACT

Extending our reduction construction in \cite{Hu} to the Hamiltonian action of a Poisson Lie group, we show that generalized Kähler reduction exists even when only one generalized complex structure in the pair is preserved by the group action. We show that the constructions in string theory of the (geometrical) $T$-duality with $H$-fluxes for principle bundles naturally arise as reductions of factorizable Poisson Lie group actions. In particular, the group may be non-abelian.

研究动机与目标

• 通过广义几何方法，在弦理论中实现T对偶性与H-通量的几何实现。
• 将广义凯勒约化扩展到仅在泊松李群作用下保留一个广义复结构的情形。
• 表明即使群是非交换的，具有H-通量的T对偶性也自然地作为可分解泊松李群作用的约化出现。
• 通过满足特定对偶方程的Courant代数胚结构与扭曲形式，建立约化空间之间的对偶性。
• 将物理学文献中的T对偶性群和标准对偶条件作为约化框架的几何结果重新获得。

提出的方法

• 将辛几何中的哈密顿矩映射约化方法适配到广义复几何与广义凯勒几何，使用泊松李群作用。
• 通过泊松李群G及其对偶群Ĝ在广义复或凯勒流形上的同时哈密顿作用，定义双哈密顿作用。
• 将约化空间构造为矩映射水平集关于群作用的商空间，确保作用的正则性与自由性以保证光滑性。
• 利用与可分解r-矩阵相关的Manning三元组结构，定义全局双群结构及扩展群G̃的作用。
• 应用B-变换简化约化空间上的扭曲形式，并推导出对偶空间上H-通量之间的对偶方程。
• 推导出对偶方程 $ \hat{\pi}^*\hat{h} - \pi^*h = d(\hat{\Theta} \wedge \Theta) $，其与物理学文献中的标准T对偶条件一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当泊松李群作用下仅保留一个广义复结构时，广义凯勒约化是否仍可定义？
• RQ2 在广义凯勒几何中，如何实现T对偶性与H-通量的几何实现？
• RQ3 可分解泊松李群及其双群在实现T对偶性中起什么作用？
• RQ4 对偶约化空间上的扭曲形式之间有何关系？该关系能否从几何上推导？
• RQ5 标准T对偶条件（涉及H-通量与联络形式）能否作为约化框架的几何结果而非公设被重新获得？

主要发现

• 即使仅保留一个广义复结构，广义凯勒约化依然存在，扩展了以往要求两个结构均被保留的研究结果。
• 对于主丛，具有H-通量的T对偶性自然地作为可分解泊松李群作用的约化出现，即使群是非交换的。
• 可分解泊松李群的双哈密顿作用的约化空间自然地赋予一个有效的Courant代数胚结构。
• 经过B-变换后，对偶约化空间上的扭曲形式满足 $ \hat{\pi}^*\hat{h} - \pi^*h = d(\hat{\Theta} \wedge \Theta) $，与标准T对偶条件一致。
• 物理学文献中的T对偶性群作为几何约化框架的后果被重新获得。
• 约化空间之间的对偶性被定义为Courant对偶性，为广义几何中的T对偶性提供了几何解释。