[论文解读] Reduction of a nonlinear system and its numerical solution using a fractional iterative method

A. Torres-Hernandez, F. Brambila-Paz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 25被引用 15

一句话总结

本文提出一种基于分数阶微积分的分数阶迭代方法，用于求解非线性代数系统，特别将混合太阳能接收器模型中的5个变量系统简化为2个变量的等效系统。该方法利用常数的非零分数阶导数特性，实现更快、更鲁棒的数值求解，仅需单一初始条件即可在不同环境参数下获得高精度结果。

ABSTRACT

A nonlinear algebraic equation system of 5 variables is numerically solved, which is derived from the application of the Fourier transform to a differential equation system that allows modeling the behavior of the temperatures and the efficiencies of a hybrid solar receiver, which in simple terms is the combination of a photovoltaic system with a thermoelectric system. In addition, a way to reduce the previous system to a nonlinear system of only 2 variables is presented. Naturally, reducing algebraic equation systems of dimension N to systems of smaller dimensions has the main advantage of reducing the number of variables involved in a problem, but the analytical expressions of the systems become more complicated. However, to minimize this disadvantage, an iterative method that does not explicitly depend on the analytical complexity of the system to be solved is used. A fractional iterative method, valid for one and several variables, that uses the properties of fractional calculus, in particular the fact that the fractional derivatives of constants are not always zero, to find solutions of nonlinear systems is presented.

研究动机与目标

• 将源自混合太阳能接收器模型的复杂5变量非线性系统简化为更简单的2变量系统。
• 开发一种即使在简化系统中分析复杂度增加的情况下仍有效的数值求解方法。
• 应用一种不依赖于显式分析复杂度或分数阶偏导数的分数阶迭代方法。
• 实现实时计算在不同DNI和环境温度下混合太阳能接收器的温度与效率动态变化。
• 通过真实环境数据和数值验证，展示该方法的鲁棒性与收敛性。

提出的方法

• 作者通过变量消去和函数代换技术，从原始5变量系统推导出简化的2变量非线性系统。
• 提出一种分数阶迭代方法，基于常数的分数阶导数不为零的性质，实现仅从单一初始条件出发的收敛。
• 该方法采用由分数阶导数算子定义的分数阶伪牛顿迭代格式，其收敛性由分数阶阶数α控制。
• 迭代更新公式使用分数阶导数近似来更新变量，从而最小化对分析复杂度的依赖。
• 利用实时DNI和环境温度数据对方法进行验证，通过残差范数和解的差异监测收敛性。
• 在分数阶框架内适配了一种并行弦法，以提高收敛速度和稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不损失解保真度的前提下，将建模混合太阳能接收器的5变量非线性系统简化为2变量系统？
• RQ2 在高复杂度简化系统中，分数阶迭代方法是否在收敛速度和鲁棒性方面优于经典迭代求解器？
• RQ3 能否仅使用单一初始条件，通过分数阶微积分在非线性系统中找到多个解？
• RQ4 该分数阶迭代方法在真实环境参数变化（DNI和T_air）下的表现如何？
• RQ5 该方法在实时太阳能接收器建模中在多大程度上降低了计算负担？

主要发现

• 5变量系统被成功简化为2变量系统，解的准确性得到保留，两个系统结果完全一致。
• 在19组测试案例中，分数阶迭代方法收敛于727至1976次迭代之间，残差范数低于10⁻²，解的差异低于3.6×10⁻⁵。
• 简化系统（87组）的解与原始系统（79组）的解高度一致，证实了简化的有效性。
• 该方法在不同DNI和环境温度输入下表现出鲁棒性，收敛行为一致。
• 分数阶导数阶数α在1.17586至1.24828之间变化，表明对系统动态敏感但收敛稳定。
• 与原始5维空间相比，该方法在2维空间中实现了更快的解计算，提升了实时可行性。