[论文解读] Reduction of Dirac structures along isotropic subbundles

I. Calvo, Fernando Falceto+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入一种规范构造——称为“拉伸”——用于在精确Courant代数丛中沿一个余切子丛 $ S $ 变形一个Dirac子丛 $ D $，从而生成一个新的Dirac子丛 $ D^S $。关键结果是定理4.1给出的充分条件，表明若 $ D $ 和 $ S $ 均为对合的，则 $ D^S $ 也是Dirac结构，该结果推广了Dirac的约束理论、Marsden-Ratiu约化以及Poisson纤维化中的耦合结构。

ABSTRACT

Given a Dirac subbundle and an isotropic subbundle of a Courant algebroid, we provide a canonical method to obtain a new Dirac subbundle. When the original Dirac subbundle is involutive (i.e., a Dirac structure) this construction has interesting applications, for instance to Dirac's theory of constraints and to the Marsden-Ratiu reduction in Poisson geometry.

研究动机与目标

• 开发一种在Courant代数丛中沿余切子丛对Dirac子丛进行变形的规范方法。
• 确定结果结构保持对合（即为Dirac结构）的条件。
• 统一并推广Dirac几何中已知的构造，包括约束系统中的Dirac括号、Marsden-Ratiu约化以及Poisson纤维化中的耦合结构。

提出的方法

• 将Dirac子丛 $ D $ 沿余切子丛 $ S $ 的拉伸定义为 $ D^S = (D \bigcap S^\bot) + S $，并证明其为极大余切子丛。
• 在 $ TM \bigoplus T^*M $ 上使用带有闭合3-形式 $ H $ 的Courant代数丛结构，通过具有余切像的截面将代数丛进行识别。
• 利用Courant括号和锚映射分析 $ D^S $ 的对合性，利用 $ D $ 为极大余切子丛且 $ S \bigsubseteq S^\bot $ 的事实。
• 建立 $ D^S $ 为对合的条件：若 $ S $ 保持 $ D^S $ 不变，且满足定理4.1中的条件，特别是关于李导数和微分形式闭包的条件。
• 在三个关键情形中验证该构造：Dirac约束理论、Marsden-Ratiu约化以及具有耦合结构的Poisson纤维化。
• 证明该拉伸构造与文献中已知结果等价，例如Brahic与Fernandes关于Poisson纤维化的研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，沿余切子丛 $ S $ 对Dirac子丛 $ D $ 进行拉伸将产生另一个Dirac子丛？
• RQ2 拉伸构造如何推广Dirac在约束哈密顿系统中的约束理论？
• RQ3 Marsden-Ratiu约化在Poisson几何中是否可作为该拉伸过程的特例被恢复？
• RQ4 拉伸构造在何种意义上统一或扩展了Poisson纤维化上耦合Dirac结构的理论？
• RQ5 当 $ D $ 和 $ S $ 均为对合时，拉伸结构 $ D^S $ 为对合的必要且充分条件是什么？

主要发现

• 拉伸构造 $ D^S = (D \bigcap S^\bot) + S $ 在任意精确Courant代数丛中均给出一个良定义的极大余切子丛。
• 定理4.1提供了 $ D^S $ 为对合的充分条件：若 $ S $ 保持 $ D^S $ 不变，且满足关于形式和双向量场的李导数条件。
• Dirac约束理论中的Dirac括号构造是该拉伸过程的一个特例。
• 当 $ D $ 为Poisson双形式的图，且 $ S $ 对应于约束分布的正交补时，Poisson几何中的Marsden-Ratiu约化可作为拉伸后的Dirac结构被恢复。
• 此前由Brahic与Fernandes研究的Poisson纤维化上的耦合结构与拉伸Dirac结构 $ D^S $ 一致，其可积性条件与定理4.1的要求完全匹配。