[论文解读] Reduction of manifolds with semi-negative holomorphic sectional curvature

Gordon Heier, Steven Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了一种新的微分几何不变量——'真正平坦秩' $ r^{-}_{\text{tf}} $，用于度量具有半负全纯截面曲率的凯勒流形的切空间中线性无关的真正平坦方向的数量。文章证明了 $ \operatorname{kod}(M) \leq \nu(M) \leq r^{-}_{\text{tf}} \leq n(M) $，建立了数值不变量的上下界，并在附加条件下证明了分裂定理。

ABSTRACT

In this note, we continue the investigation of a projective Kähler manifold $M$ of semi-negative holomorphic sectional curvature $H$. We introduce a new differential geometric numerical rank invariant which measures the number of linearly independent {\it truly flat} directions of $H$ in the tangent spaces. We prove that this invariant is bounded above by the nef dimension and bounded below by the numerical Kodaira dimension of $M$. We also prove a splitting theorem for $M$ in terms of the nef dimension and, under some additional hypotheses, in terms of the new rank invariant.

研究动机与目标

• 定义并研究一种新的微分几何不变量 $ r^{-}_{\text{tf}} $，用于度量具有半负全纯截面曲率的凯勒流形的切空间中真正平坦方向的数量。
• 证明 $ r^{-}_{\text{tf}} $ 的上界为拟正则维数，下界为数值卡迭尔维数。
• 在附加几何假设下，基于拟正则维数，以及在更强假设下基于 $ r^{-}_{\text{tf}} $，证明此类流形的分裂定理。
• 探讨该不变量对阿 bounty 猜想及凯勒-里奇流变形理论的影响。
• 通过分析全纯截面曲率 $ H \leq 0 $ 的射影凯勒流形类，提供一个双有理几何的新检验案例。

提出的方法

• 将 $ r^{-}_{\text{tf}} $ 定义为全纯截面曲率恒为零的切向量子空间的最大维数。
• 利用子丛的曲率递减性质，证明阿贝尔簇上的平坦度量限制到theta除子时，其曲率为半负。
• 应用邻接公式，证明此类子流形的典范丛为负，从而表明其拟正则维数达到最大。
• 利用里奇曲率张量及其外幂，推导出 $ \xi^{k+1} = 0 $，其中 $ \xi $ 为里奇 (1,1)-形式，$ k = r^{-}_{\text{tf}} $，从而推出 $ c_1(M)^{k+1} = 0 $。
• 借助 [WZ03] 和 [Liu14] 的结果，将真正平坦向量刻画为里奇形式的核中的向量。
• 通过 torsion 点的无分歧覆盖和基变换，构造全纯纤维化，并在假设纤维非同构的前提下证明分裂定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有半负全纯截面曲率的凯勒流形的切空间中真正平坦方向的数量定义一种新的微分几何不变量？
• RQ2 新不变量 $ r^{-}_{\text{tf}} $ 是否满足上界为拟正则维数、下界为数值卡迭尔维数？
• RQ3 在附加几何假设下，此类流形的分裂结构是否可由 $ r^{-}_{\text{tf}} $ 的取值推出？
• RQ4 具有 $ H \leq 0 $ 的射影凯勒流形类能否作为阿 bounty 猜想的检验案例？
• RQ5 $ r^{-}_{\text{tf}} $ 对凯勒-里奇流变形理论的影响是否超越 $ c_1 < 0 $ 的情形？

主要发现

• 新不变量 $ r^{-}_{\text{tf}} $ 满足 $ \operatorname{kod}(M) \leq \nu(M) \leq r^{-}_{\text{tf}} \leq n(M) $，建立了数值不变量的链式边界。
• 对于维数为 $ n+1 $ 的一般主极化阿贝尔簇中的 theta 除子 $ M $，有 $ r^{-}_{\text{tf}} = \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor $，严格小于 $ n(M) = n $。
• 里奇曲率形式 $ \xi $ 满足 $ \xi^{k+1} = 0 $，其中 $ k = r^{-}_{\text{tf}} $，从而推出 $ c_1(M)^{k+1} = 0 $，这限制了数值卡迭尔维数。
• 若全纯子丛射影 $ f: M \to B $ 的所有纤维均为非同构的阿贝尔簇，且 $ B $ 为一般型，则 $ M $ 不可能赋予满足 $ H \leq 0 $ 的凯勒度量。
• 证明表明，此类度量将迫使所有纤维彼此全纯等距，与非同构假设矛盾。
• 具有 $ H \leq 0 $ 的 $ n $-维射影流形类 $ \mathcal{H}^{0-}_n $，由于具备微分几何工具，是检验阿 bounty 猜想的自然候选对象。