[论文解读] Reductions fo some families of two-dimensional crystalline Galois representations

Gerasimos Dousmanis|arXiv (Cornell University)|May 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 2

一句话总结

本文构建了在 Q_p 的有限非分歧扩张上的可微 (Phi,Gamma)-模的解析族，从而得到无限族的晶体伽罗瓦表示。本文证明了存在此类族，其中包含任意给定的不可约有效二维晶体表示（Hodge-Tate 权重为 {0, -k_i}），并计算了其模 p 的半简化约化。

ABSTRACT

Let K_{f} be the finite unramified extension of Q_{p} of degree f and E any finite large enough coefficient field containing K_{f}. We construct analytic families of etale (Phi,Gamma)-modules which give rise to families of crystalline E-representations of the absolute Galois group G_{K_{f}} of K_{f}. For any irreducible effective two-dimensional crystalline E-representation of G_{K_{f}} with labeled Hodge-Tate weights {0,-k_{i}}_{{ au}_{i}} induced from a crystalline character of G_{K_{2f}}, we construct an infinite family of crystalline E-representations of G_{K_{f}} of the same Hodge-Tate type which contains it. As an application, we compute the semisimplified mod p reductions of the members of each such family.

研究动机与目标

• 在 Q_p 的有限非分歧扩张上构建可微 (Phi,Gamma)-模的解析族。
• 构造无限族的 G_{K_f} 上的晶体 E-表示，其 Hodge-Tate 类型与给定的不可约表示相同。
• 计算每一类族中成员的半简化模 p 约化。
• 通过诱导特征从 K_{2f} 提升至 K_f，扩展关于晶体表示的结果。

提出的方法

• 使用可微 (Phi,Gamma)-模的解析族来参数化伽罗瓦表示族。
• 利用 G_{K_{2f}} 上的晶体特征诱导 K_f 上的表示。
• 应用 (Phi,Gamma)-模理论，在 K_f 上构造具有固定 Hodge-Tate 权重 {0, -k_i} 的族。
• 利用 Hodge-Tate 权重的标记以确保族内的一致性。
• 利用绝对伽罗瓦群 G_{K_f} 的结构以确保晶体性与不可约性。
• 通过族的结构及其约化行为计算半简化模 p 约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出与给定不可约表示具有相同 Hodge-Tate 类型的无限族晶体伽罗瓦表示？
• RQ2 从 K_{2f} 诱导的晶体表示在提升至 K_f 时行为如何？
• RQ3 此类晶体表示族的模 p 约化具有何种结构？
• RQ4 能否有效利用 (Phi,Gamma)-模的解析族来参数化这些族？
• RQ5 标记的 Hodge-Tate 权重在这些族的构造与分类中起什么作用？

主要发现

• 本文构建了一个无限族的 G_{K_f} 上的晶体 E-表示，其中包含任意给定的不可约有效二维晶体表示（Hodge-Tate 权重为 {0, -k_i}）。
• 这些族由 K_f 上可微 (Phi,Gamma)-模的解析族参数化。
• 每一族中表示的半简化模 p 约化均被显式计算。
• 该构造依赖于从 G_{K_{2f}} 到 G_{K_f} 诱导晶体特征以生成族。
• 所有族成员中 Hodge-Tate 权重 {0, -k_i} 均被保持。
• 该方法确保族中所有表示均为晶体表示，且与原始表示类型相同。