[论文解读] Reductions on Double Occurrence Words

Ryan Arredondo|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

semigroups and automata theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文引入了双出现词的嵌套指数——将其简化为空词所需的最少约简操作次数，使用弦图和圈图作为分析工具。研究证明，嵌套指数在圈图同构下并非不变，即具有相同圈图的词可能在嵌套指数上存在任意大的差异，并提出了关于达到给定嵌套指数所需最小词长的猜想。

ABSTRACT

In the present paper we consider biologically motivated reduction operations on double occurrence words. Then we define the nesting index of a double occurrence word to be the least number of reduction operations it takes for a word to be reduced to the empty word. We use chord diagrams and circle graphs as tools to study the nesting index of double occurrence words.

研究动机与目标

• 定义并研究双出现词的嵌套指数，作为基因组重排模型中结构复杂性的度量。
• 研究嵌套指数与弦图及圈图的拓扑不变量之间的关系。
• 确定嵌套指数是否在圈图同构下保持不变，并探讨实现给定嵌套指数所需的最小词长。
• 提供嵌套指数计数的计算表格，并据此提出关于最小词长的猜想。

提出的方法

• 基于在膜口类生物中观察到的基因组重排模式，定义双出现词上的约简操作。
• 使用弦图表示双出现词并分析其结构特性。
• 从弦图构造圈图，其中顶点代表弦，边代表相交。
• 应用稀疏子词分析来表征1-可约词，并推导可约性的条件。
• 通过比较具有同构圈图但嵌套指数不同的词，证明嵌套指数并非图不变量。
• 按嵌套指数和词长生成双出现词计数表，以支持关于最小长度的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 双出现词的嵌套指数在其关联圈图同构下是否保持不变？
• RQ2 构造具有嵌套指数n的双出现词所需的最少字母数是多少？
• RQ3 能否通过弦图子结构和稀疏子词完全表征嵌套指数？
• RQ4 尽管嵌套指数非不变，是否存在与之相关的圈图结构不变量？
• RQ5 是否存在一个通用界，使得具有相同圈图和嵌套指数的不同双出现词的数量有限？

主要发现

• 嵌套指数在圈图同构下并非不变：具有同构圈图的词可能在嵌套指数上存在任意大的差异。
• 对于任意n≥1，存在双出现词，其圈图同构且嵌套指数相差n−1。
• 本文提供了从嵌套指数1到10、词长1到9的所有双出现词的计数表。
• 提出一个猜想：构造嵌套指数为n的词所需的最少字母数为n−s，其中s为小于n的非零平方数的个数。
• 给出了1-可约双出现词的表征：当且仅当词不包含稀疏子词123213、123132或121323时，该词为1-可约。
• 证明了对应于弦图C_{(n−1)×(n−1)}的词的嵌套指数为n，从而表明对每个n∈ℕ，均存在嵌套指数为n的词。