[论文解读] Redundancy for localized and Gabor frames

Radu Bălan, Pete Casazza+1 more|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过局部化理论导出的冗余函数，为无限框架建立了定量的冗余概念。证明了对于 $\ell^1$-局部化框架和生成元属于 $M^1(\mathbb{R}^d)$ 的加伯框架，任何冗余大于一的框架都包含一个冗余可任意接近一的子框架，从而解决了框架理论中的一个关键开放问题，并支持了先前工作中提出的通用冗余定义。

ABSTRACT

Redundancy is the qualitative property which makes Hilbert space frames so useful in practice. However, developing a meaningful quantitative notion of redundancy for infinite frames has proven elusive. Though quantitative candidates for redundancy exist, the main open problem is whether a frame with redundancy greater than one contains a subframe with redundancy arbitrarily close to one. We will answer this question in the affirmative for $\ell^1$-localized frames. We then specialize our results to Gabor multi-frames with generators in $M^1(\R^d)$, and Gabor molecules with envelopes in $W(C,l^1)$. As a main tool in this work, we show there is a universal function $g(x)$ so that for every $ε>0$, every Parseval frame $\{f_i\}_{i=1}^M$ for an $N$-dimensional Hilbert space $H_N$ has a subset of fewer than $(1+ε)N$ elements which is a frame for $H_N$ with lower frame bound $g(ε/(2\frac{M}{N}-1))$. This work provides the first meaningful quantative notion of redundancy for a large class of infinite frames. In addition, the results give compelling new evidence in support of a general definition of reudndancy given in [7].

研究动机与目标

• 为无限框架发展一种有意义的定量冗余度量，解决框架理论中长期存在的开放问题。
• 证明冗余大于一的框架包含冗余可任意接近一的子框架，满足冗余性的一个关键期望属性。
• 通过证明其满足四个基本性质（包括可将冗余降低至接近一的能力），验证冗余函数作为合法度量的有效性。
• 将该框架扩展至生成元为 $M^1(\mathbb{R}^d)$ 的加伯框架以及具有 $W(C,\ell^1)$ 包络的加伯分子。

提出的方法

• 引入一个通用函数 $g(x)$，用于以子框架相对于原框架的相对大小来界定 Parseval 框架子框架的下框架界。
• 利用框架 $\mathcal{F}$ 与参考框架 $\mathcal{E}$ 之间的 $\ell^1$-局部化，将 $\mathcal{F}$ 的冗余与局部化映射 $a: I \to G$ 的密度联系起来。
• 通过在索引集的递增子集上取 $p$-极限来定义冗余函数 $R(p; \mathcal{F})$，以捕捉渐近平均冗余。
• 通过证明当生成元 $g \in M^1(\mathbb{R}^d)$ 时，加伯框架 $\mathcal{G}(g;\Lambda)$ 相对于某个加伯框架 $\mathcal{E}$ 是 $\ell^1$-局部化的，从而将理论应用于加伯框架。
• 建立 $\ell^2$-局部化框架的 $R(p; \mathcal{F}) = D(p,a) \cdot R(p; \mathcal{E})$ 关系，并将此结果扩展至 $\ell^1$-局部化框架以获得主要结果。
• 利用存在一列参考框架 $\mathcal{E}_n$ 满足 $\liminf R(p; \mathcal{E}_n) = 1$ 的事实，构造出冗余 $\leq 1+\varepsilon$ 的 $\mathcal{F}$ 的子框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个冗余大于一的框架是否都包含一个冗余可任意接近一的子框架？
• RQ2 能否为无限框架（特别是加伯框架和局部化框架）定义一个通用的定量冗余度量？
• RQ3 冗余函数是否满足 $\ell^1$-局部化框架的四个关键性质 $P_1$ 到 $P_4$？
• RQ4 冗余函数是否与文献 [5] 中为无自然密度的框架所提出的通用定义一致？
• RQ5 具有 $M^1(\mathbb{R}^d)$ 生成元的加伯框架的冗余与其子框架的冗余有何关系？

主要发现

• 对于任意 $\varepsilon > 0$，任一 $N$-维希尔伯特空间中的 Parseval 框架 $\{f_i\}_{i=1}^M$ 都存在一个元素少于 $(1+\varepsilon)N$ 的子集，构成一个下框架界为 $g(\varepsilon / (2M/N - 1))$ 的框架。
• 对于相对于参考框架 $\mathcal{E}$ 的 $\ell^1$-局部化框架 $\mathcal{F}$，以及任意 $\varepsilon > 0$，存在一个子框架 $\mathcal{F}[J_\varepsilon]$，使得对所有 $p \in \mathbb{N}^*$，有 $R(p; \mathcal{F}[J_\varepsilon]) \leq (1+\varepsilon)R(p; \mathcal{E})$。
• 对于生成元 $g \in M^1(\mathbb{R}^d)$ 的加伯框架 $\mathcal{G}(g;\Lambda)$，以及任意 $\varepsilon > 0$，存在一个子框架 $\mathcal{G}' = \mathcal{G}(g;J_\varepsilon)$，使得对所有 $p \in \mathbb{N}^*$，有 $R(p; \mathcal{G}') \leq 1+\varepsilon$。
• 冗余函数满足对所有 $p \in \mathbb{N}^*$ 有 $R(p; \mathcal{F}) \geq 1$，且当 $\mathcal{F}$ 是 Riesz 基时 $R(p; \mathcal{F}) = 1$。
• 对于两个具有相同局部化映射的 $\ell^1$-局部化框架 $\mathcal{F}_1$ 和 $\mathcal{F}_2$，其不相交并集的冗余满足 $R(p; \mathcal{F}_1 \dot{\sqcup} \mathcal{F}_2) = R(p; \mathcal{F}_1) + R(p; \mathcal{F}_2)$。
• 冗余函数满足所有四个性质 $P_1$ 到 $P_4$，证实其作为 $\ell^1$-局部化框架和加伯框架的定量冗余度量的适用性。