[论文解读] Reeb components with complex leaves and their symmetries I : The automorphism groups and Schröder's equation on the half line

Tomohiro Horiuchi, Yoshihiko Mitsumatsu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究三维流形中具有复叶的Reeb分量的自同构群，重点分析在半直线上满足Schröder函数方程的微分同胚。当边界处的线性单值单射平凡时，自同构群包含一个无穷维向量空间；否则，其维数有限——该结论通过中心流形理论及具有平凡线性部分的扩张微分同胚的分析得出。

ABSTRACT

We review the standard Hopf construction of Reeb components with leafwise complex structure and determine the group of leafwise holomorphic smooth automorphisms for tame Reeb components in the case of complex leaf dimension one. For this, we solve the Schröder type functional equation on the half line for expanding diffeomorphism. As a result, we see that the automorphism group of one with trivial linear holonomy on the boundary contains an infinite dimensional vector space, while in the case of non-trivial linear holonomy the group is of finite dimensional.

研究动机与目标

• 确定三维流形中具有复叶的驯服Reeb分量的叶上全纯光滑自同构群的结构。
• 在原点处线性部分平凡的扩张微分同胚上求解半直线上Schröder型函数方程。
• 阐明自同构群维数的二分性：当线性单值单射平凡时为无穷维，否则为有限维。
• 应用中心流形理论与正规型技术，解决经典方法失效时的函数方程。
• 为不同类别的微分同胚（包括平坦与非平坦的喷射）提供Schröder方程解光滑性的统一证明。

提出的方法

• 在原点处线性部分平凡的扩张微分同胚上求解半直线上Schröder型函数方程，以模拟Reeb分量的单值单射。
• 将中心流形理论应用于由微分同胚定义的拉回算子，通过$ H_c $的共轭构造不变图像。
• 采用两步构造法：首先定义一个扰动$ \tilde{\varphi}_\delta $，然后构造一个具有受控Lipschitz范数的修正微分同胚$ \Phi_c $。
• 对具有非平凡有限喷射的微分同胚使用Takens正规型与傅里叶级数，对平坦情形则采用统一的中心流形方法。
• 通过控制$ \Phi_c $与线性映射$ T(x,z) = (x, \lambda z) $之间的Lipschitz距离，建立解的$ C^r $正则性，再令$ r \to \infty $。
• 通过$ H_c $的共轭将不变图像转移至原系统，证明解$ \beta $的光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边界叶的线性单值单射平凡时，三维流形中具有复叶的Reeb分量的自同构群结构如何？
• RQ2 当线性单值单射非平凡时，自同构群如何变化？其有限维与无穷维的二分性由何解释？
• RQ3 能否通过中心流形理论求解原点处线性部分平凡的扩张微分同胚在半直线上Schröder函数方程的解？
• RQ4 处理对恒等映射平坦的微分同胚时，需要哪些技术？此时标准正规型方法失效。
• RQ5 是否存在一种统一方法，可同时适用于平坦与非平坦微分同胚，以求解Schröder方程？

主要发现

• 当边界叶的线性单值单射平凡时，Reeb分量的自同构群包含一个无穷维光滑叶上全纯自同构向量空间。
• 当线性单值单射非平凡时，自同构群为有限维，表明其对称结构存在显著差异。
• 对于原点处线性部分平凡的扩张微分同胚，Schröder方程在半直线上存在光滑解（实际上为$ C^\infty $）。
• 证明依赖于对共轭微分同胚$ \Phi_c $应用中心流形理论，其中不变图像对应于解$ \beta $。
• 该方法通过使用参数化扰动族并控制共轭的Lipschitz范数，统一处理了平坦与非平坦微分同胚。
• 证明了解$ \beta $光滑且在0处平坦，对应于自同构在无穷阶上与恒等映射相切。