[论文解读] Reedy Model Structures in Families

Edouard Balzin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文建立了在Reedy范畴上族模型范畴的截面范畴上存在Reedy模型结构的条件。通过引入‘正规化截面’的概念，并利用相对层压映射与匹配映射，作者构建了一个严格模型化截面的$(\infty,1)$-范畴的模型结构，将经典的Reedy模型结构推广至族模型范畴。

ABSTRACT

Given a family of model categories $\cal E o \cal R$ over a Reedy category, we outline a set of conditions which lead to the existence of a Reedy model structure on the category of sections ${\sf Sect}(\cal R, \cal E)$. We prove that for a wide class of examples, this model structure serves as a strictification of the $(\infty,1)$-category of sections of the higher-categorical family associated to $\cal E o \cal R$.

研究动机与目标

• 将经典的Reedy模型结构从函子范畴推广至索引为Reedy范畴的族模型范畴。
• 定义并研究族模型范畴的截面范畴，推广将函子映射到模型范畴的概念。
• 在截面范畴上构建一个类似Reedy的模型结构，严格模型化截面的$(\infty,1)$-范畴，确保同伦一致性。
• 提供该模型结构存在且与族的高阶范畴结构相容的条件。
• 推广经典构造，如Quillen预层与单纯对象上的正规化模型结构。

提出的方法

• 为Reedy范畴$\mathcal{R}$上的族$\mathcal{E} \to \mathcal{R}$引入截面范畴$\mathsf{Sect}(\mathcal{R}, \mathcal{E})$，其中每个$x \in \mathcal{R}$对应一个模型范畴$\mathcal{E}(x)$。
• 通过要求退化对象上的层压映射为零，定义‘正规化截面’，以确保与Reedy结构的相容性。
• 利用相对层压映射与匹配映射，在$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$上构建模型结构，其中纤维化由匹配映射在$\mathcal{E}(x)$中为纤维化来定义。
• 通过按度数进行归纳构造分解，利用每个纤维$\mathcal{E}(x)$中分解的存在性以及$\mathcal{X}$上的Reedy结构。
• 将Reedy模型结构机理由非退化对象的全子范畴应用至退化对象，通过余球积与同构进行延拓。
• 通过归约为纤维上的模型结构并利用Reedy范畴的唯一分解性质，建立提升与分解公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，族模型范畴在Reedy范畴上的截面范畴上存在Reedy模型结构？
• RQ2 如何通过Quillen模型结构严格模型化族模型范畴的截面的$(\infty,1)$-范畴？
• RQ3 正规化截面在确保与Reedy结构及同伦一致性相容性方面起什么作用？
• RQ4 截面范畴中的相对层压映射与匹配映射如何与单个纤维上的模型结构相关联？
• RQ5 经典的Reedy模型结构$\mathsf{Fun}(\mathcal{R}, \mathcal{M})$能否推广至模型范畴随索引范畴变化的族？

主要发现

• 当族$\mathcal{E} \to \mathcal{X}$满足适当条件（包括每个纤维中存在极限与上确界）时，正规化截面范畴$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$上存在Reedy模型结构。
• 在$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$上的模型结构中，弱等价与纤维化为逐点定义，其中纤维化由非退化$x$的相对匹配映射在$\mathcal{E}(x)$中为纤维化来确定。
• 在$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$中的上纤维化恰好是Reedy上纤维化，而平凡上纤维化则是其相对层压映射在$\mathcal{E}(x)$中为平凡上纤维化的映射。
• 包含映射$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E}) \to \mathsf{Sect}(\mathcal{X}, \mathcal{E})$保持极限与上极限，且该模型结构通过此包含映射被导出。
• 对于退化对象$x$，层压与匹配范畴为平凡，因此相对层压映射成为同构，从而简化了提升条件。
• 在$\mathsf{Sect}_N(\mathcal{X}, \mathcal{E})$中映射的分解是按度数归纳构造的，利用每个纤维$\mathcal{E}(x)$中的分解，并与Reedy结构相容。