[论文解读] Refactorization of Cauchy's method: a second-order partitioned method for fluid-thick structure interaction problems

Martina Bukač, Anyastassia Seboldt+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 51被引用 17

一句话总结

本论文提出了一种用于流体-厚结构相互作用（FSI）问题的二阶、强耦合分区方法，采用重构的柯西θ-方法与广义罗宾界面条件。该方法将时间积分分解为流体和结构子问题的后向欧拉（BE）子迭代，随后进行前向欧拉（FE）外推，实现了在θ ∈ [1/2, 1]范围内的二阶精度与无条件稳定性，通过收敛性研究和具有生理参数的基准FSI仿真得到验证。

ABSTRACT

This work focuses on the derivation and the analysis of a novel, strongly-coupled partitioned method for fluid-structure interaction problems. The flow is assumed to be viscous and incompressible, and the structure is modeled using linear elastodynamics equations. We assume that the structure is thick, i.e., modeled using the same number of spatial dimensions as fluid. Our newly developed numerical method is based on generalized Robin boundary conditions, as well as on the refactorization of the Cauchy's one-legged `theta-like' method, written as a sequence of Backward Euler-Forward Euler steps used to discretize the problem in time. This family of methods, parametrized by theta, is B-stable for any theta in [0.5,1] and second-order accurate for theta=0.5+O(tau), where tau is the time step. In the proposed algorithm, the fluid and structure subproblems, discretized using the Backward Euler scheme, are first solved iteratively until convergence. Then, the variables are linearly extrapolated, equivalent to solving Forward Euler problems. We prove that the iterative procedure is convergent, and that the proposed method is stable provided theta in [0.5,1]. Numerical examples, based on the finite element discretization in space, explore convergence rates using different values of parameters in the problem, and compare our method to other strongly-coupled partitioned schemes from the literature. We also compare our method to both a monolithic and a non-iterative partitioned solver on a benchmark problem with parameters within the physiological range of blood flow, obtaining an excellent agreement with the monolithic scheme.

研究动机与目标

• 解决经典狄利克雷-诺伊曼格式在厚而致密结构FSI中出现的不稳定性和次优收敛问题。
• 克服弱耦合格式中存在O(τ^{1/2})收敛率与算子分裂误差的局限性。
• 开发一种强耦合的分区格式，实现二阶时间精度，同时保持稳定性和计算效率。
• 在真实血流动力学环境下，确保对界面参数（α）和时间步容差（ε）变化的鲁棒性。
• 在具有生理相关性的基准FSI问题上，与单体求解器表现出优异的一致性。

提出的方法

• 将柯西的单腿‘θ-类’方法重构为BE-FE时间离散化：对流体和结构子问题的后向欧拉步骤进行迭代直至收敛。
• 通过结合运动学（狄利克雷）与动力学（诺伊曼）条件，并引入参数α以平衡其贡献，实现广义罗宾界面条件。
• 在BE收敛后采用线性外推（等价于求解前向欧拉问题）以实现二阶精度。
• 利用能量估计证明BE子迭代的收敛性及θ ∈ [1/2, 1]下的稳定性。
• 采用P2-P1有限元对流体（速度-压力）进行空间离散化，对结构（速度-位移）采用P2有限元。
• 在相同网格和时间步长下求解单体格式、所提格式与弱耦合格式，以实现直接比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 分区FSI格式能否在流体与固体密度相近的厚结构中实现二阶时间收敛？
• RQ2 柯西θ-方法的BE-FE重构是否能在广义罗宾耦合条件下确保稳定性和收敛性？
• RQ3 界面参数α与子迭代容差ε如何影响收敛率与计算成本？
• RQ4 在具有生理相关性的基准FSI问题中，该方法与单体求解器及非迭代分区求解器相比，在精度与稳定性方面表现如何？
• RQ5 当ε与时间步长τ以相同比率减小时，该方法能否保持最优收敛率？

主要发现

• 当θ = 1/2时，所提方法在时间上实现二阶收敛（O(τ²)），且当ε与τ成比例减小时，保持最优收敛率。
• 对于其他θ值，收敛率退化为O(τ)至O(τ²)，当ε过大（如ε = 10⁻³）时出现次优性，但通过随τ减小ε可予以纠正。
• 每时间步的平均BE子迭代次数通常约为2次，且随τ减小而减少，所需迭代次数少于罗宾-诺伊曼或罗宾-罗宾格式。
• 在具有生理参数的基准血流问题中，所提格式与单体求解器在流体流量、压力与界面位移方面表现出极佳的一致性。
• 通过能量估计证明，该方法在θ ∈ [1/2, 1]范围内保持无条件稳定性，且在广泛α值范围内表现鲁棒，包括先前研究中确定的最优αopt。
• 与弱耦合方法相比，该方法在精度上表现更优，显著减小了算子分裂误差，并与单体参考解更加吻合。