[论文解读] Refined inequalities for the numerical radius of Hilbert space operators

Pintu Bhunia, Suvendu Jana+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2021

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了复希尔伯特空间上有界线性算子数值半径的新紧致上下界，通过算子实部与虚部的新型表达式，改进了现有不等式。关键贡献在于以 $ \|A\| $、$ \|\Re(A)\pm\Im(A)\| $ 表示的 $ w(A) $ 的精确下界，以及涉及 $ \|A^*A + AA^*\| $ 的 $ w^2(A) $ 的改进上界，优于基塔内赫（Kittaneh）等人的经典结果。

ABSTRACT

We present some new upper and lower bounds for the numerical radius of bounded linear operators on a complex Hilbert space and show that these are stronger than the existing ones. In particular, we prove that if $A$ is a bounded linear operator on a complex Hilbert space $\mathcal{H}$ and if $\Re(A)$, $\Im(A)$ are the real part, the imaginary part of $A$, respectively, then $$ w(A)\geq\frac{\|A\|}{2} +\frac{1}{2\sqrt{2}} \Big | \|\Re(A)+\Im(A)\|-\|\Re(A)-\Im(A)\| \Big | $$ and $$ w^2(A)\geq\frac{1}{4}\|A^*A+AA^*\|+\frac{1}{4}\Big| \|\Re(A)+\Im(A)\|^2-\|\Re(A)-\Im(A)\|^2\Big|. $$ Here $w(.)$ and $\|.\|$ denote the numerical radius and the operator norm, respectively. Further, we obtain refinement of inequalities for the numerical radius of the product of two operators. Finally, as an application of the second inequality mentioned above, we obtain an improvement of upper bound for the numerical radius of the commutators of operators.

研究动机与目标

• 推导复希尔伯特空间上有界线性算子数值半径的更紧致上下界。
• 改进涉及算子范数与数值半径的现有不等式，特别是基塔内赫与山崎的结果。
• 利用实部与虚部的结构特性，改进算子乘积与交换子的数值半径界。
• 为广义交换子 $ AXB \pm BYA $ 提供更精确的数值半径估计，优于冯（Fong）与霍尔布鲁克（Holbrook）的界。

提出的方法

• 利用三角不等式与 $ \Re(A) \pm \Im(A) $ 的性质，推导 $ w(A) $ 的新下界，借助恒等式 $ \langle Ax,x\rangle = \sqrt{\langle\Re(A)x,x\rangle^2 + \langle\Im(A)x,x\rangle^2} $。
• 建立一个改进的不等式：$ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| + \frac{1}{2\sqrt{2}}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\| - \|\Re(A)-\Im(A)\|\right| $，该式强化了经典不等式 $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| $。
• 提出一个二次下界：$ w^2(A) \geq \frac{1}{4}\|A^*A + AA^*\| + \frac{1}{4}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\|^2 - \|\Re(A)-\Im(A)\|^2\right| $，该式改进了基塔内赫的不等式。
• 将这些界应用于乘积 $ B^*A $，推导出 $ w^{2r}(B^*A) $ 的改进不等式，优于德拉戈米尔（Dragomir）与赫达贝吉（Hedarbeygi）等人的结果。
• 利用改进的 $ w^2(A) $ 界，推导出交换子 $ AXB \pm BYA $ 数值半径的更紧致上界，结合了算子范数与实部/虚部范数。
• 通过柯西-施瓦茨不等式与归一化技术，将界从压缩算子推广至一般算子，利用缩放方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $ A $ 的实部与虚部改进经典下界 $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| $？
• RQ2 $ \Re(A) \pm \Im(A) $ 的范数如何影响 $ A $ 的数值半径？
• RQ3 能否通过引入涉及 $ \Re(A) \pm \Im(A) $ 的附加项，使不等式 $ w^2(A) \geq \frac{1}{4}\|A^*A + AA^*\| $ 更为紧致？
• RQ4 新的 $ w^2(A) $ 界是否导致算子乘积与交换子数值半径估计的改进？
• RQ5 $ w(AXB \pm BYA) $ 的新界是否严格优于现有界，如冯与霍尔布鲁克或希爾扎拉赫（Hirzallah）与基塔内赫的界？

主要发现

• 本文建立了新下界：$ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| + \frac{1}{2\sqrt{2}}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\| - \|\Re(A)-\Im(A)\|\right| $，该界严格优于经典不等式 $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| $。
• 证明了改进的二次界：$ w^2(A) \geq \frac{1}{4}\|A^*A + AA^*\| + \frac{1}{4}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\|^2 - \|\Re(A)-\Im(A)\|^2\right| $，该式强化了基塔内赫的不等式。
• 对于乘积 $ B^*A $，导出不等式 $ w^{2r}(B^*A) \leq \frac{1}{2}\left(\frac{\||B|^2|A|^2 + |A|^2|B|^2\|}{2}\right)^r + \frac{1}{4}\||B|^{4r} + |A|^{4r}\| $，该式优于赫达贝吉等人的早期结果。
• 广义交换子 $ w(AXB \pm BYA) $ 的界被改进为 $ \leq 2\sqrt{2}\|B\|\max\{\|X\|,\|Y\|\}\sqrt{w^2(A) - \frac{1}{4}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\|^2 - \|\Re(A)-\Im(A)\|^2\right|} $，该界比冯与霍尔布鲁克的界更紧。
• 新界 $ w(AXB \pm BYA) $ 与希爾扎拉赫与基塔内赫的界在一般情况下不可比较，已通过反例说明。
• 推论 3.8 表明，改进界等号成立的必要条件为 $ \|\Re(A)+\Im(A)\| = \|\Re(A)-\Im(A)\| $，为改进估计中的等号成立提供了必要条件。