[论文解读] Refined regularity analysis for a Keller-Segel-consumption system involving signal-dependent motilities

Genglin Li, Michael Winkler|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2022

Mathematical Biology Tumor Growth被引用 4

一句话总结

本文针对具有信号依赖性运动性的 Keller-Segel 消耗系统，建立了改进的正则性与最终光滑性，证明了当 $ n \leq 2 $ 时存在全局经典解，当 $ n = 3 $ 时存在最终光滑的弱解，且两者在 $ L^\infty(\Omega) $ 中强收敛于半平凡平衡态。结果扩展了先前的存在性结果，表明在对 $ \phi $ 和初始数据施加更强光滑性假设时，可获得更高的正则性。

ABSTRACT

We consider the Keller-Segel-type migration-consumption system involving signal-dependent motilities, $$\left\{ \begin{array}{l} u_t = Δ\big(uϕ(v)\big), \\[1mm] v_t = Δv-uv, \end{array} ight. \qquad \qquad$$ in smoothly bounded domains $Ω\subset\mathbb{R}^n$, $n\ge 1$. Under the assumption that $ϕ\in C^1([0,\infty))$ is positive on $[0,\infty)$, and for nonnegative initial data from $(C^0(\overlineΩ))^\star imes L^\infty(Ω)$, previous literature has provided results on global existence of certain very weak solutions with possibly quite poor regularity properties, and on large time stabilization toward semitrivial equilibria with respect to the topology in $(W^{1,2}(Ω))^\star imes L^\infty(Ω)$. The present study reveals that solutions in fact enjoy significantly stronger regularity features when $0<ϕ\in C^3([0,\infty))$ and the initial data belong to $(W^{1,\infty}(Ω))^2$: It is firstly shown, namely, that then in the case $n\le 2$ an associated no-flux initial-boundary value problem even admits a global classical solution, and that each of these solutions smoothly stabilizes in the sense that as $t o\infty$ we have $$ \begin{align*} u(\cdot,t) o \frac{1}{|Ω|}\int_Ωu_0 \qquad ext{ and } \qquad v(\cdot,t) o 0 \qquad \qquad (\star) \end{align*}$$ even with respect to the norm in $L^\infty(Ω)$ in both components. In the case when $n\ge 3$, secondly, some genuine weak solutions are found to exist globally, inter alia satisfying $ abla u\in L^\frac{4}{3}_{loc}(\overlineΩ imes [0,\infty);\mathbb{R}^n)$. In the particular three-dimensional setting, any such solution is seen to become eventually smooth and to satisfy ($\star$).

研究动机与目标

• 改进先前针对具有信号依赖性运动性的 Keller-Segel 消耗系统所建立的全局极弱解的正则性。
• 研究对 $ \phi $ 和初始数据施加更强光滑性假设时，是否能导致经典解或最终光滑解。
• 分析解的大时间行为，特别是其在强拓扑下收敛于半平凡平衡态的性质。
• 建立解在 $ n \leq 3 $ 时变得光滑并在 $ L^\infty(\Omega) $ 中稳定，即使初始正则性有限。
• 弥合趋化系统中具有消耗与信号依赖性扩散时弱解理论与经典解行为之间的差距。

提出的方法

• 通过参数 $ \varepsilon > 0 $ 的正则化逼近方案，构造系统扰动版本的解 $ (u_\varepsilon, v_\varepsilon) $。
• 利用能量估计与最大 $ L^p $-正则性理论，推导出 $ u_\varepsilon $、$ v_\varepsilon $ 及其梯度的统一有界性。
• 借助紧致性与稳定性结果，通过 $ L^2_{\text{loc}} $ 与 $ L^1_{\text{loc}} $ 中的弱收敛与几乎处处收敛，实现逼近解的收敛性。
• 在 $ t > T $ 的时空区域中，应用 Arzelà-Ascoli 定理提取 $ u $ 与 $ v $ 的一致收敛子列，确保最终光滑性。
• 利用插值与 $ \nabla u $ 的 $ L^p $-有界性，特别是 $ \nabla u \in L^{4/3}_{\text{loc}}(\overline{\Omega} \times [0,\infty); \mathbb{R}^n) $，推导出更高可积性与正则性。
• 利用辅助微分不等式（如引理 5.3）控制增长并推导解分量的统一有界性，尤其在三维情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ \phi $ 与初始数据条件下，具有信号依赖性运动性的 Keller-Segel 消耗系统存在全局经典解？
• RQ2 初始仅为极弱解的解是否可能最终光滑？若可能，其在 $ \phi $ 的正则性假设下需满足什么条件？
• RQ3 解是否在强 $ L^\infty(\Omega) $-拓扑下收敛于半平凡平衡态 $ (\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u_0, 0) $？
• RQ4 空间维数 $ n $ 在决定解的正则性与长时间行为中起何作用？
• RQ5 系统的结构，特别是信号消耗项 $ -uv $，是否能防止爆破并强制稳定，即使在非线性扩散下亦然？

主要发现

• 当 $ n \leq 2 $ 时，若 $ \phi \in C^3([0,\infty)) $ 且初始数据 $ (u_0, v_0) \in (W^{1,\infty}(\Omega))^2 $，则系统存在全局经典解。
• 当 $ n \leq 2 $ 时，经典解满足当 $ t \to \infty $ 时，$ u(\cdot,t) \to \frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u_0 $ 与 $ v(\cdot,t) \to 0 $ 在 $ L^\infty(\Omega) $ 中成立。
• 当 $ n \geq 3 $，特别是 $ n = 3 $ 时，系统存在全局弱解，满足 $ \nabla u \in L^{4/3}_{\text{loc}}(\overline{\Omega} \times [0,\infty); \mathbb{R}^n) $。
• 在三维情形下，任意此类弱解最终变得光滑，并在 $ L^\infty(\Omega) $ 中强收敛于半平凡平衡态。
• 即使在对 $ \phi $ 的假设仅限于 $ C^3 $ 光滑性与正性时，收敛于平衡态在两个分量中均为强收敛。
• 结果表明，信号消耗与信号依赖性运动性共同抑制了爆破，并在较弱正则性条件下强制实现长期稳定，即使在高维情形下亦然。