[论文解读] Refinement for Signal Flow Graphs

Brendan Fong|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Petri Nets in System Modeling参考文献 90被引用 48

一句话总结

本文提出了一种范畴论框架，用于使用超图范畴、装饰柯普斯（decorated cospans）和相关关系（corelations）对网络风格的图示语言（如信号流图、电路和马尔可夫过程）进行建模。该框架证明了所有超图范畴均可通过装饰相关关系构造，从而为开放系统提供了组合语义，并将该理论应用于线性时不变系统和无源线性网络，展示了通过函子保持结构的黑箱化过程。

ABSTRACT

Herein we develop category-theoretic tools for understanding network-style diagrammatic languages. The archetypal network-style diagrammatic language is that of electric circuits; other examples include signal flow graphs, Markov processes, automata, Petri nets, chemical reaction networks, and so on. The key feature is that the language is comprised of a number of components with multiple (input/output) terminals, each possibly labelled with some type, that may then be connected together along these terminals to form a larger network. The components form hyperedges between labelled vertices, and so a diagram in this language forms a hypergraph. We formalise the compositional structure by introducing the notion of a hypergraph category. Network-style diagrammatic languages and their semantics thus form hypergraph categories, and semantic interpretation gives a hypergraph functor. The first part of this thesis develops the theory of hypergraph categories. In particular, we introduce the tools of decorated cospans and corelations. Decorated cospans allow straightforward construction of hypergraph categories from diagrammatic languages: the inputs, outputs, and their composition are modelled by the cospans, while the 'decorations' specify the components themselves. Not all hypergraph categories can be constructed, however, through decorated cospans. Decorated corelations are a more powerful version that permits construction of all hypergraph categories and hypergraph functors. These are often useful for constructing the semantic categories of diagrammatic languages and functors from diagrams to the semantics. To illustrate these principles, the second part of this thesis details applications to linear time-invariant dynamical systems and passive linear networks.

研究动机与目标

• 使用范畴论形式化网络风格的图示语言（例如，信号流图、电路）
• 通过将互连建模为超图范畴，为开放系统开发一种通用的组合语义
• 引入装饰相关关系作为构造所有超图范畴和函子的通用方法
• 将该框架应用于线性时不变系统和无源线性网络，通过函子演示黑箱化过程
• 在统一的组合结构下整合多种系统（如马尔可夫过程和电路）

提出的方法

• 使用超图范畴对网络图的组合结构进行建模，其中组件通过输入和输出连接
• 引入装饰柯普斯以从图示语言构造超图范畴，其中柯普斯表示接口，装饰表示组件类型
• 开发装饰相关关系作为更强大的构造方法，捕捉所有超图范畴和函子，从而实现开放系统的黑箱化
• 将黑箱函子定义为从开放系统到其行为的超图函子，使用相关关系表示输入-输出关系
• 通过将行为建模为环 k[s, s⁻¹] 上的模，将该框架应用于线性系统；通过狄利克雷型式和拉格朗日关系对无源网络进行建模
• 使用分解系统（满射-分裂单射）定义系统的最小表示，从而引出用于高效系统抽象的有界余极限（bound colimits）概念

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用范畴论正式建模网络风格的图示语言？
• RQ2 从图示语言生成所有超图范畴和函子的通用构造是什么？
• RQ3 如何通过函子以组合方式捕捉开放系统（如电路、马尔可夫过程）的语义？
• RQ4 线性系统黑箱化的范畴结构是什么，它如何保持组合性？
• RQ5 无源网络中的最小功率原理能否被推广，并与拉格朗日关系和辛结构相关联？

主要发现

• 所有超图范畴均可作为装饰相关关系范畴构造，确立了装饰相关关系作为通用构造方法
• 从开放无源线性网络到拉格朗日关系的黑箱函子是一个超图函子，保持了组合性和结构
• 线性时不变系统的范畴被表示为超图范畴，其行为建模为 k[s, s⁻¹] 上的模
• 详细平衡的马尔可夫过程的行为由最小耗散性表征，其语义通过函子因子化到拉格朗日关系
• 有界余极限构造通过提取余极限的联合满射部分，为开放系统提供了最小表示，推广了黑箱化概念
• 在描述开放马尔可夫过程和开放电路的函子之间存在自然变换，揭示了两类系统之间深层次的结构类比