[论文解读] Refinements of Mitrinović-Cusa inequality

Zhen-Hang Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过引入形如 $(\cos px)^{1/(3p^2)}$ 的精确边界，对 Mitrinović-Cusa 不等式进行了精细化处理，证明了不等式链 $$(\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3}$$ 在 $x \in (0, \pi/2)$ 上成立的充要条件是 $p \in [p_1, 1)$ 且 $q \in (0, 1/\sqrt{5}]$，其中 $p_1 \approx 0.45347$。函数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 在 $(0,1]$ 上严格递减，显著强化了经典不等式。

ABSTRACT

The Mitrinović-Cusa inequality states that for x\in(0,π/2) (cos x)^{1/3}

研究动机与目标

• 通过使用形如 $(\cos px)^{1/(3p^2)}$ 的三角函数边界，对 $\frac{\sin x}{x}$ 引入更紧密的界限，从而改进经典的 Mitrinović-Cusa 不等式。
• 确定使不等式链 $$(\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3}$$ 对所有 $x \in (0, \pi/2)$ 成立的最优 $p$ 和 $q$ 值。
• 建立函数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 在 $(0,1]$ 上的单调性，证明其严格递减。
• 为涉及 $\sin x/x$ 和 $\ln(\sin x)$ 的积分提供精确估计，并利用改进后的不等式推导出 Catalan 常数 $G$ 的精确边界。

提出的方法

• 作者定义函数 $F_p(x) = \frac{\ln(\sin x / x)}{\ln(\cos px)}$，并利用包含伯努利数的 $\cot x$ 和 $\tan x$ 的级数展开分析其单调性。
• 借助关于可微函数比值单调性的引理 1，论文确定了 $F_p(x)$ 递增或递减的条件，从而导出对 $\frac{\sin x}{x}$ 的边界。
• 论文使用幂级数展开（引理 2）和三角函数的积分表示，推导出涉及 $\frac{\sin x}{x}$ 和 $\cos(px)$ 的不等式。
• 通过分析 $F_p(x)$ 在 $x = 0^+$ 和 $x = \pi/2^-$ 附近的行为，作者确定了使改进后不等式链成立的最优 $p$ 和 $q$。
• 该方法包括对改进边界的积分，例如在区间 $[0, \pi/4]$ 和 $[0, \pi/2]$ 上进行积分，以估计 $\ln(\sin x)$ 和 $x^2 / \sin^2 x$ 的积分，进而用于界定 Catalan 常数 $G$。
• 论文应用改进后的不等式 $\frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)}$（其中 $q = 1/\sqrt{5}$）通过积分表示推导出 $G$ 的紧致边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $x \in (0, \pi/2)$，满足 $(\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x}$ 的最大 $p$ 是多少？
• RQ2 对于所有 $x \in (0, \pi/2)$，满足 $\frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)}$ 的最小 $q$ 是多少？
• RQ3 函数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 在 $(0,1]$ 上是否严格递减？
• RQ4 改进后的边界能否用于推导涉及 $\sin x/x$ 和 $\ln(\sin x)$ 的积分的精确估计？
• RQ5 改进后的不等式能否带来对 Catalan 常数 $G$ 的更优边界？

主要发现

• 不等式 $$(\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x}$$ 对所有 $x \in (0, \pi/2)$ 成立的充要条件是 $p \in [p_1, 1)$，其中 $p_1 \approx 0.45346830977067$。
• 不等式 $$\frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3}$$ 对所有 $x \in (0, \pi/2)$ 成立的充要条件是 $q \in (0, 1/\sqrt{5}]$。
• 函数 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 在 $(0,1]$ 上严格递减，这为经典边界提供了连续插值。
• 论文利用改进后的不等式，为积分 $\int_0^{\pi/4} \ln(\sin x)\,dx$ 建立了精确边界，得到 $$-\frac{\pi}{8}\left(2 + \ln 2 - \frac{\pi^2}{72}\right) < \int_0^{\pi/4} \ln(\sin x)\,dx < -\frac{\pi}{4}\left(2\ln 2 + 1 + \frac{\pi^2}{288} - \ln\pi\right)$$。
• 论文推导出关于 Catalan 常数 $G$ 的三个新精确边界： $$\frac{\sqrt{6}\pi}{2\sqrt{16\sqrt{3}-\pi^2}} < G < \frac{3}{32}\pi^2$$， $$\frac{\pi}{2}\left(\ln 2 - \ln\pi + \frac{\pi^2}{288} + 1\right) < G < \frac{\pi}{4}\left(2 - \ln 2 - \frac{\pi^2}{72}\right)$$，以及 $$\frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi}{4}\ln 2 + \frac{8}{5}(172 - 99\sqrt{3}) < G < \frac{\pi^2}{320}(37 + 6\sqrt{3}) - \frac{\pi}{4}\ln 2$$。