[论文解读] Reflected Backward SDEs with General Jumps

S. Hamadene, Y. Ouknine|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2008

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本论文建立了带一般跳跃的单屏障与双屏障反射倒向随机微分方程（BSDEs）解的存在性与唯一性，其噪声由布朗运动与一个独立的泊松随机测度驱动。论文结合惩罚法、Snell上包络理论及巴拿赫空间中的不动点论证，处理了跳跃任意的右连续左极限（RCLL）反射过程，无需对跳跃施加可预测性或不可达性等限制。

ABSTRACT

In the first part of this paper we give a solution for the one-dimensional reflected backward stochastic differential equation (BSDE for short) when the noise is driven by a Brownian motion and an independent Poisson point process. The reflecting process is right continuous with left limits (rcll for short) whose jumps are arbitrary. We first prove existence and uniqueness of the solution for a specific coefficient in using a method based on a combination of penalization and the Snell envelope theory. To show the result in the general framework we use a fixed point argument in an appropriate space. The second part of the paper is related to BSDEs with two reflecting barriers. Once more we prove the existence and uniqueness of the solution of the BSDE.

研究动机与目标

• 建立在一维反射BSDE中解的存在性与唯一性，当噪声由布朗运动与一个独立的泊松随机测度驱动，且反射过程为具任意跳跃的RCLL过程时。
• 将理论扩展至双反射屏障情形，在Mokobodski假设下证明存在性与唯一性。
• 消除先前对反射过程中跳跃性质的限制（如要求其不可达或可预测），从而推广先前结果。
• 为金融衍生品（特别是违约市场中的可转换债券）提供适用框架，其中不连续屏障是自然的。
• 为利用BSDE框架研究具不连续障碍的变分不等式粘性解开辟道路。

提出的方法

• 采用惩罚法近似反射BSDE，构造一列标准BSDE，其解收敛于反射方程的解。
• 应用Snell上包络理论，表征支配给定过程的最小上鞅，这对于处理反射约束至关重要。
• 在适当的适应过程的巴拿赫空间中采用不动点论证，证明一般Lipschitz系数下的存在性，克服泊松驱动BSDE中缺乏比较原理的问题。
• 利用Snell上包络的Doob-Meyer分解为鞅与可预测的增过程，分析反射过程的结构。
• 对Snell上包络引入正则性条件，以确保最优停时的存在，从而有助于刻画反射机制。
• 依赖于由布朗运动与泊松随机测度生成的滤子中的一般可选过程与可预测过程理论，确保可预测投影与对偶可预测投影的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 当反射过程为具有任意跳跃的RCLL过程，且噪声包含布朗运动与泊松成分时，能否建立反射BSDE解的存在性与唯一性？
• RQ2 如何克服跳跃系数BSDE中缺乏比较原理的问题，以证明存在性与唯一性？
• RQ3 在屏障不连续的情况下，何种条件可确保双屏障反射BSDE的解存在且唯一？
• RQ4 在跳跃扩散噪声背景下，反射过程的结构如何与Snell上包络及Doob-Meyer分解相关联？
• RQ5 具一般跳跃的反射BSDE理论能否扩展至具不连续障碍的变分不等式粘性解？

主要发现

• 对于Lipschitz系数，当噪声由布朗运动与一个独立的泊松随机测度驱动时，单屏障反射BSDE的解存在且唯一。
• 解通过惩罚方案与Snell上包络理论联合构造，确保解始终位于RCLL反射屏障之上。
• 对于依赖跳跃变量$v$的一般系数，通过在过程的巴拿赫空间中采用不动点论证，得到唯一解，克服了比较原理缺失的问题。
• 证明了反射过程$K$为可预测过程，且其跳跃满足$\Delta_t K^d = (\eta_{t-} - R(\eta)_t)^+ \mathbf{1}_{\{R(\eta)_{t-} = \eta_{t-}\}}$，直接关联到Snell上包络的行为。
• 当Snell上包络具有正则性时，最优停时$\tau_t$存在且满足$R(\eta)_{\tau_t} = \eta_{\tau_t}$，确保过程在首次触及屏障时实现反射。
• 对于双屏障情形，在Mokobodski假设下证明了解的存在性与唯一性，将理论扩展至具一般跳跃动态的双反射BSDE。