[论文解读] Reflected Backward Stochastic Difference Equations and Optimal Stopping Problems under g-expectation

Lifen An, Samuel N. Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 8

一句话总结

该论文在有限状态的离散时间框架下，建立了反射型倒向随机差分方程（RBSDEs）的存在性、唯一性及比较定理，并将其与g-期望下的最优停止问题相联系。研究表明，RBSDEs通过涉及交易策略esssup的驱动函数，可提供不完全市场中美式衍生品的最小超对冲价格。

ABSTRACT

In this paper, we study reflected backward stochastic difference equations (RBSDEs for short) with finitely many states in discrete time. The general existence and uniqueness result, as well as comparison theorems for the solutions, are established under mild assumptions. The connections between RBSDEs and optimal stopping problems are also given. Then we apply the obtained results to explore optimal stopping problems under $g$-expectation. Finally, we study the pricing of American contingent claims in our context.

研究动机与目标

• 建立离散时间、有限状态空间下反射型倒向随机差分方程（RBSDEs）的严格理论。
• 在较弱假设下，建立RBSDE解的存在性、唯一性及比较定理。
• 将RBSDEs与g-期望下的最优停止问题相联系。
• 将该框架应用于不完全金融市场中美式衍生品的定价。

提出的方法

• 利用有限状态马尔可夫过程与鞅差分，构建离散时间下的RBSDEs。
• 通过鞅差分过程的二次变差定义等价关系，以确保解的唯一性。
• 证明一个离散的Skorohod引理，将强制满足反射条件的递增过程表示为上确界形式。
• 采用惩罚法证明RBSDEs解的存在性。
• 通过证明价值过程等于所有停止时间下折现收益期望的上确界，建立RBSDE解与最优停止问题的关系。
• 通过将超对冲价格建模为含关于可接受交易策略上确界的驱动函数的RBSDE，将理论应用于美式期权。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散时间与有限状态条件下，反射型倒向随机差分方程（RBSDEs）在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 RBSDEs如何用于刻画g-期望下最优停止问题的值？
• RQ3 RBSDEs与不完全市场中美式衍生品的最小超对冲价格之间有何联系？
• RQ4 离散时间下的g-期望框架如何与多重先验鞅及Doob-Mayer分解相关联？
• RQ5 具有凹/凸生成元的RBSDE解是否可表示为混合最优停止-控制问题？

主要发现

• 对于驱动函数 $ \bar{f}(t,y,z) = -r_t y + \sup_{\theta \in \Theta} \{ z^* \theta_t \} $、终端条件 $ \xi_T $ 及下界 $ \xi_t $ 的RBSDE，其解等于美式衍生品的最小超对冲价格。
• 对于驱动函数 $ \underline{f}(t,y,z) = -r_t y + \inf_{\theta \in \Theta} \{ z^* \theta_t \} $ 的RBSDE，其解给出最大子对冲价格。
• 在生成元与障碍物满足较弱条件时，通过反射约束的惩罚法证明了RBSDE解的存在性。
• RBSDE的比较定理表明：若一个驱动函数支配另一个，则其对应的解也支配之。
• RBSDE解满足动态规划原理：$ Y_t = \sup_{\tau} \mathbb{E}^Q[ \sum_{t \leq s < \tau} \bar{f}(s,Y_s,Z_s) + \xi_\tau \mid \mathcal{F}_t ] $，从而与最优停止问题相联系。
• 离散时间下的g-期望框架支持Doob-Mayer分解与可选抽样定理，且在Riedel的意义下等价于多重先验鞅。