[论文解读] Reflected entropy is not a correlation measure

Patrick Hayden, Marius Lemm+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2023

Statistical Mechanics and Entropy被引用 7

一句话总结

本文表明，此前被认为衡量量子关联的反射熵，并非在部分迹操作下单调递减，违反了关联度量的基本准则。通过使用经典概率分布的显式反例，作者证明了标准反射熵以及所有 $\alpha \in (0,2)$ 范围内的任意 R{\'e}nyi 反射熵均不满足单调性，因此其在经典与量子情境下均不适合作为关联度量。

ABSTRACT

By explicit counterexample, we show that the "reflected entropy" defined by Dutta and Faulkner is not monotonically decreasing under partial trace, and so is not a measure of physical correlations. In fact, our counterexamples show that none of the Rényi reflected entropies $S_{R}^{(α)}$ for $0 < α< 2$ is a correlation measure; the usual reflected entropy is realized as the $α=1$ member of this family. The counterexamples are given by quantum states that correspond to classical probability distributions, so reflected entropy fails to measure correlations even at the classical level.

研究动机与目标

• 研究反射熵是否满足部分迹下的物理单调性要求，这是任何关联度量的必要条件。
• 检验在量子信息与量子引力中广泛应用的 R{\'e}nyi 反射熵 $S_R^{(\alpha)}$（$\alpha \in (0,2)$）是否为有效的关联度量。
• 确定单调性失效是否在经典概率分布中依然存在，从而排除量子特异性解释的可能性。
• 提供严格的解析与数值反例，证明当对子系统进行部分迹操作时，反射熵反而增加，违反了关联度量应有的物理行为。

提出的方法

• 构造一个具有特定密度矩阵结构的三体量子态 $\rho_{ABC}$，使其退化为经典概率分布。
• 计算规范纯化态 $|\sqrt{\rho_{AB}}\rangle$，并通过部分迹操作在 $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_A^*$ 上推导出反射密度算符 $\phi^{(AB)}$ 与 $\phi^{(ABC)}$。
• 推导 $\phi^{(AB)}$ 与 $\phi^{(ABC)}$ 的本征值关于 $\beta$ 的精确表达式，从而实现 R{\'e}nyi 反射熵的解析计算。
• 利用大 $\beta$ 下的渐近展开，比较 $\tr((\phi^{(ABC)})^\alpha)$ 与 $\tr((\phi^{(AB)})\alpha)$，证明当 $\alpha \in (1,2)$ 时前者大于后者。
• 通过 R{\'e}nyi 熵公式 $S_\alpha(\phi) = \frac{1}{1-\alpha}\log\tr(\phi^\alpha)$ 分析差值 $S_R^{(\alpha)}(A:BC) - S_R^{(\alpha)}(A:B)$，证明其在 $\alpha \in (0,2)$ 范围内为负。
• 通过绘制 $\alpha \in (0,3)$ 范围内熵差的数值图像，验证结果：在 $\beta=10$ 情况下，$\alpha < 1.9$ 时差值为负。

实验结果

研究问题

• RQ1 反射熵是否满足部分迹下的单调性？这是关联度量的必要条件。
• RQ2 R{\'e}nyi 反射熵 $S_R^{(\alpha)}$ 在 $\alpha \in (0,2)$ 范围内是否具有单调性，特别是在经典概率分布类中？
• RQ3 能否构造一个反例，使得 $S_R^{(\alpha)}(A:BC) < S_R^{(\alpha)}(A:B)$，从而违反预期的关联衰减行为？
• RQ4 单调性失效是否源于量子效应，还是在经典态中同样存在？

主要发现

• 标准反射熵（$\alpha=1$）不能作为关联度量，因其在部分迹下不满足单调性。
• 所有 $\alpha \in (0,2)$ 范围内的 R{\'e}nyi 反射熵 $S_R^{(\alpha)}$ 均不满足单调性，由显式反例证实。
• 当 $\alpha \in (1,2)$ 时，对于足够大的 $\beta$，差值 $S_R^{(\alpha)}(A:BC) - S_R^{(\alpha)}(A:B)$ 为负，原因在于 $\tr((\phi^{(ABC)})^\alpha) > \tr((\phi^{(AB)})^\alpha)$。
• 反例所用的量子态对应于经典概率分布，证明该失效现象甚至在经典层面也存在。
• 数值图像确认，在 $\beta=10$ 情况下，$\alpha \in (0,1.9)$ 范围内熵差为负，且在 $\alpha \in (0,2)$ 全区间内该违反现象持续存在。
• 对大 $\beta$ 的解析渐近分析证实，对所有 $\alpha \in (1,2)$，均有 $\tr((\phi^{(ABC)})^\alpha) > \tr((\phi^{(AB)})^\alpha)$，证明该违反现象具有鲁棒性。