[论文解读] Reflexivity and dualizability in categorified linear algebra

Martin Brandenburg, Alexandru Chirvăsitu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文研究范畴化线性代数中的自反性与对偶性，重点关注如余模范畴和拟凝聚层范畴等完备线性范畴。研究证明，对可数维余代数上的余模范畴是自反的，且当且仅当其具有足够多的投射对象时是对偶的——从而给出了半完美余代数的范畴化刻画。此外，研究进一步证明，某些概形（如正特征下半单群的分类概形）上的拟凝聚层范畴并非对偶的，而对几乎线性重新性群作用的商概形上的拟凝聚层范畴则是对偶的，并建立了具有可数指标偏序集的仿射 ind-概形的张量性。

ABSTRACT

The "linear dual" of a cocomplete linear category $\mathcal C$ is the category of all cocontinuous linear functors $\mathcal C o \mathrm{Vect}$. We study the questions of when a cocomplete linear category is reflexive (equivalent to its double dual) or dualizable (the pairing with its dual comes with a corresponding copairing). Our main results are that the category of comodules for a countable-dimensional coassociative coalgebra is always reflexive, but (without any dimension hypothesis) dualizable if and only if it has enough projectives, which rarely happens. Along the way, we prove that the category $\mathrm{Qcoh}(X)$ of quasi-coherent sheaves on a stack $X$ is not dualizable if $X$ is the classifying stack of a semisimple algebraic group in positive characteristic or if $X$ is a scheme containing a closed projective subscheme of positive dimension, but is dualizable if $X$ is the quotient of an affine scheme by a virtually linearly reductive group. Finally we prove tensoriality (a type of Tannakian duality) for affine ind-schemes with countable indexing poset.

研究动机与目标

• 理解在范畴化线性代数背景下，哪些完备线性范畴是自反或对偶的。
• 通过存在足够多投射对象等结构性质，对对偶性进行刻画。
• 确定在概形与 ind-概形上的拟凝聚层范畴何时是对偶的或张量性的。
• 将坦纳卡对偶性（张量性）推广至具有可数指标偏序集的仿射 ind-概形。
• 澄清在几何背景下，特别是正特征情形下，导出与非导出对偶性之间的对比。

提出的方法

• 使用局部可表线性范畴的双范畴与 cocontinuous 函子，以及 $oxtimes$-张量积，作为线性代数的范畴化。
• 通过等价关系 $Σ ⊗ Σ^* \to \mathrm{End}(\u03a3)$ 定义对偶性，通过自然映射 $\u03a3 \to (\u03a3^*)^*$ 定义自反性。
• 应用代数的埃伦伯格–沃茨定理以建立模范畴的对偶性，与余代数缺乏此类定理形成对比。
• 通过几何与表示论标准（特别是投射对象的存在性）分析概形上的拟凝聚层范畴。
• 应用关于线性重新性与几乎线性重新性群的结果，以确定商概形范畴的对偶性。
• 通过证明从 pro-代数到极限范畴的同态对应于对称张量函子，从而证明仿射 ind-概形的张量性（2-仿射性）。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个余代数上的余模范畴何时是自反或对偶的？
• RQ2 一个概形 $X$ 的哪些几何或表示论条件能推出 $\mathrm{Qcoh}(X)$ 是对偶的或非对偶的？
• RQ3 余模范畴中足够多投射对象的存在性与对偶性有何关系？
• RQ4 在何种条件下，商概形 $[X/G]$ 上的拟凝聚层范畴是对偶的？
• RQ5 在何种条件下，一个仿射 ind-概形是张量性的，即其拟凝聚层范畴满足某种坦纳卡型重构性质？

主要发现

• 可数维协结合余代数上的余模范畴总是自反的。
• 一个余代数上的余模范畴是对偶的，当且仅当其具有足够多的投射对象，这一条件称为右半完美性。
• 若一个概形 $X$ 包含一个正维数的闭投影子概形，则 $\mathrm{Qcoh}(X)$ 不是对偶的。
• 若一个几乎线性重新性群 $G$ 作用于一个仿射概形 $X$，则范畴 $\mathrm{Qcoh}([X/G])$ 是对偶的。
• 具有可数指标偏序集的仿射 ind-概形是张量性的：其拟凝聚层范畴满足一种坦纳卡重构性质。
• 从可接受的交换 pro-代数到对称张量局部可表范畴的函子是全忠实的，从而确立了此类 ind-概形的 2-仿射性。