[论文解读] Reformulating String Theory with the $1/N$ Expansion

Charles B. Thorn|ArXiv.org|May 10, 1994

Computational Physics and Python Applications被引用 66

一句话总结

本文提出通过 $1/N$ 展开将弦理论重新表述为点状组分的复合系统，受 't Hooft 对大-$N$ 规范理论方法的启发。通过在大-$N$ 极限下将弦视为 $N$ 个部分子的束缚态，该框架使稳定性、因果性和庞加莱对称性变得明显，同时表明引力和额外维度可从一个一般协变的、非引力的底层理论中动态涌现。

ABSTRACT

We argue that string theory should have a formulation for which stability and causality are evident. Rather than regard strings as fundamental objects, we suggest they should be regarded as composite systems of more fundamental point-like objects. A tentative scheme for such a reinterpretation is described along the lines of 't Hooft's $1/N$ expansion and the light-cone parametrization of the string.

研究动机与目标

• 解决标准弦理论表述中稳定性与因果性不明显的难题。
• 探讨弦理论是否可被理解为更基本的点粒子理论的 $1/N$ 展开。
• 解释引力、额外维度和庞加莱对称性如何从一个非引力的、一般协变的底层理论中动态涌现。
• 提供一个框架，使弦态在大-$N$ 极限下作为 $N$ 个组分的束缚态出现，且每个组分具有有限的 $P^+$。
• 研究弦组分中有限动量分量的抑制是否可由一般协变性或非动力学度规作用量的约束来解释。

提出的方法

• 使用光锥量化，以 $x^+ = \tau$ 作为演化参数，$P^+ \geq 0$ 作为共轭动量。
• 将弦世界面离散化为 $M$ 个晶格点，将弦视为 $M$ 个点状组分的链，每个组分具有固定的 $P^+ = M\epsilon T_0$。
• 引入 $N \times N$ 矩阵场 $a_k^{\ell}(\mathbf{x})$ 和 $\bar{a}_k^{\ell}(\mathbf{x})$ 对组分进行第二量化，在大-$N$ 极限下令 $N \to \infty$。
• 构造单态算符 $\bar{A}(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_M) = (1/N)^{M/2} \mathrm{Tr}\{ \bar{a}(\mathbf{x}_1) \cdots \bar{a}(\mathbf{x}_M) \}$，用于创建离散化的弦态。
• 使用哈密顿量 $P^- = \frac{1}{\epsilon} \sum_i \frac{1}{2T_0} (-\nabla_i^2 + T_0^2 (\mathbf{x}_{i+1} - \mathbf{x}_i)^2)$ 描述组分系统的动力学。
• 通过在 $(\phi^\dagger\phi)^2$ 模型中对内部 $U(1)$ 电荷进行紧化，探索额外维度的涌现，将费曼网图映射为具有紧化空间维度的二维 6-vertex 模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 弦理论能否在大-$N$ 展开下被重新表述为点状组分的复合系统？
• RQ2 如何通过此类重构使弦理论中目前不明显的稳定性与因果性变得明显？
• RQ3 一般协变性在抑制弦组分中有限动量分量方面起什么作用？
• RQ4 引力和额外维度能否从一个非引力的、一般协变的底层理论中动态涌现？
• RQ5 QCD 类似理论的 $1/N$ 展开与弦理论之间是否存在联系，特别是在无限自旋共振态的背景下？

主要发现

• 在大-$N$ 极限下，单态算符 $\bar{A}(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_M)$ 表现为离散弦的创建算符，重现了弦的谱。
• 该 $M$ 体系统有限能量激发相对于两体能级间距为 $O(1/M)$ 量级，与弦的行为一致。
• 组分中有限 $P^+$ 分量的抑制与一般协变性的要求相关，可能由无曲率项时的约束 $T_{\mu\nu}(x) = 0$ 所强制实现。
• 在具有 $U(1)$ 电荷的 $(\phi^\dagger\phi)^2$ 模型中，内部自由度可通过费曼网图求和被提升为紧化的额外维度。
• 二维 $CP(N-1)$ 模型表明，即使原始作用量中不存在，$F^2$ 项（因此也包括动力学）仍可通过非微扰方式生成，为涌现引力提供了机制。
• 标准二维世界面 BRST 形式体系表明，一般协变性所施加的约束可被一致实现，但其向更高维度的推广仍是开放性挑战。