[论文解读] Regional controllability of anomalous diffusion generated by the time fractional diffusion equations

Fudong Ge, YangQuan Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究了时间分数阶扩散方程的区域可控制性，分两种情况：有界控制算子 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 与无界 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $。利用 Baldran 定理与 Hilbert 唯一性方法（HUM），本文建立了最小能量区域可控制性的条件，证明了在异常扩散所 governing 的复杂系统中，子区域最优控制的存在性。

ABSTRACT

This paper is concerned with the investigation of the regional controllability of the time fractional diffusion equations. First, some preliminaries and definitions of regional controllability of the system under consideration are introduced, which promote the existence contributions on controllability analysis. Then we analyze the regional controllability with minimum energy of the time fractional diffusion equations on two cases: $B\in \mathbf{L}\left(\mathbf{R}^m, L^2(Ω) ight)$ and $B otin \mathbf{L}\left(\mathbf{R}^m, L^2(Ω) ight)$. In the end, two applications are given to illustrate our obtained results.

研究动机与目标

• 将可控制性分析从整数阶扩展到复杂系统中的时间分数阶扩散方程。
• 研究区域可控制性——即在状态空间子集上的可控制性——而非整个系统的可控制性。
• 为两种不同情形（有界与无界控制算子）建立最小能量区域控制的条件。
• 为工程与物理系统中异常扩散过程的控制提供理论基础。

提出的方法

• 利用 Caputo 分数阶导数与算子 $ A $ 生成的强连续半群，构建时间分数阶扩散系统。
• 针对 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 的情形，应用 Baldran 定理证明最小能量控制的存在性。
• 针对 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 的情形，采用 Hilbert 唯一性方法（HUM），特别适用于通过 Dirac delta 函数实现的点控制。
• 利用 Mittag-Leffler 函数与特征函数展开，在 Hilbert 空间 $ L^2\left(\Omega\right) $ 中表示解与伴随算子。
• 通过伴随系统与等距映射，将最优控制表示为最小能量问题的解。
• 通过两个应用验证结果：子区间上的分布控制与通过 Dirac delta 函数实现的点控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制算子有界时，时间分数阶扩散方程在何种条件下可实现最小能量区域可控制性？
• RQ2 当控制算子无界（如通过 Dirac delta 函数实现的点控制）时，是否仍可实现区域可控制性？
• RQ3 伴随算子的结构与 Mittag-Leffler 函数如何影响最优控制的存在性？
• RQ4 子区域 $ \omega \subset \Omega $ 的几何结构在弱可控制性或近似可控制性中起什么作用？
• RQ5 该理论框架能否扩展至分数阶超扩散或可观测性问题？

主要发现

• 当 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 时，通过 Baldran 定理可保证最小能量区域可控制性，确保最优控制的存在性。
• 当 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 时，Hilbert 唯一性方法（HUM）可确保最小能量控制在区域可控制性中的存在性。
• 在例 4.1 中，若 $ a_2 - a_1 \in \mathbb{Q} $，系统在 $[0,1]$ 上不是弱可控制的，但在 $[a_1, a_2] \subset [0,1]$ 上是区域可控制的。
• 对于点控制 $ Bu = u(t)\delta(x-b) $，最优控制为 $ u^*(t) = (T-t)^{-0.3} \sum_{i=1}^\infty E_{0.7,0.7}(\lambda_i (T-t)^{0.7}) (z, \xi_i)_{L^2} \int_{a_1}^{a_2} \xi_i(x) dx $。
• 伴随方程 $ ^C D_t^{0.7} \varphi_1 = \partial_{xx} \varphi_1 + (T-t)^{-0.3} K_{0.7}^*(T-t) f(b) $ 的解可用来构造最优控制。
• 最小能量问题至少存在一个最优解，该结论由定理 3.1 与定理 3.2 分别在两种情形下得到证实。