[论文解读] Regionally proximal relation of order d is an equivalence one for minimal systems and a combinatorial consequence

Song Shao, Xiangdong Ye|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文证明了区域逼近关系阶数 $d$，记为 ${\bf RP}^{[d]}$，在极小拓扑动力系统中是一个等价关系，扩展了此前对平庸系统的结果。此外，本文还确立了由 ${\bf RP}^{[d]}$ 导出的因子是最大 $d$-步尼尔因子，并推导出一个组合结论：$ \mathbb{Z}$ 中的动力稠密集产生具有 $\{0,1\}$ 系数的整数线性组合的稠密集。

ABSTRACT

By proving the minimality of face transformations acting on the diagonal points and searching the points allowed in the minimal sets, it is shown that the regionally proximal relation of order $d$, $\RP^{[d]}$, is an equivalence relation for minimal systems. Moreover, the lifting of $\RP^{[d]}$ between two minimal systems is obtained, which implies that the factor induced by $\RP^{[d]}$ is the maximal $d$-step nilfactor. The above results extend the same conclusions proved by Host, Kra and Maass for minimal distal systems. A combinatorial consequence is that if $S$ is a dynamically syndetic subset of $\Z$, then for each $d\ge 1$, $$\{(n_1,\...,n_d)\in \Z^d: n_1\ep_1+... +n_d\ep_d\in S, \ep_i\in \{0,1\}, 1\le i\le d\}$$ is syndetic. In some sense this is the topological correspondence of the result obtained by Host and Kra for positive upper Banach density subsets using ergodic methods.

研究动机与目标

• 建立区域逼近关系阶数 $d$，即 ${\bf RP}^{[d]}$，在极小拓扑动力系统中为等价关系。
• 将 ${\bf RP}^{[d]}$ 对最大 $d$-步尼尔因子的刻画从平庸系统推广到一般极小系统。
• 为遍历理论中关于多重遍历平均的结果（特别是 Host 和 Kra 的结果）提供一个拓扑对应版本。
• 推导出关于 $\mathbb{Z}$ 的动力稠密集的一个组合结论，将拓扑动力系统与加法组合学联系起来。

提出的方法

• 证明系统乘积空间中对角点上面对应面变换的极小性。
• 刻画极小集中的点，以证明在极小系统中 ${\bf RP}^{[d]}$ 的传递性。
• 利用极小系统之间 ${\bf RP}^{[d]}$ 的提升性质来建立因子结构。
• 应用 Ellis 群作用和弱混合扩张技术来分析纤维积中的传递性。
• 通过遍历理论工具的拓扑类比，利用动力平行多面体的结构和一致半范数。
• 在纤维积中使用剩余集论证和归纳构造，证明 $R^n_\pi$ 中传递点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般极小系统中（而不仅仅是平庸系统），区域逼近关系阶数 $d$，即 ${\bf RP}^{[d]}$，是否为等价关系？
• RQ2 在遍历理论中特征因子的拓扑对应物是什么，特别是对于 $d$-步尼尔系统？
• RQ3 能否通过 ${\bf RP}^{[d]}$ 来刻画极小系统的最大 $d$-步尼尔因子？
• RQ4 ${\bf RP}^{[d]}$ 的提升对 $\mathbb{Z}$ 的动力稠密集具有何种组合性质？

主要发现

• 区域逼近关系阶数 $d$，即 ${\bf RP}^{[d]}$，在所有极小系统中（而不仅仅是极小平庸系统）都是等价关系。
• 由 ${\bf RP}^{[d]}$ 导出的因子系统是原极小系统的最大 $d$-步尼尔因子。
• ${\bf RP}^{[d]}$ 在极小系统之间的提升是保持的，确保因子结构在扩张下表现良好。
• 对于任意动力稠密集 $S \subseteq \mathbb{Z}$，集合 $\{(n_1,\ldots,n_d) \in \mathbb{Z}^d : \sum_{i=1}^d \epsilon_i n_i \in S, \epsilon_i \in \{0,1\}\}$ 在 $\mathbb{Z}^d$ 中是稠密集。
• 在 RIC 弱混合扩张中，对所有 $n \geq 1$，建立了在单个纤维 $\pi^{-1}(y)$ 中所有坐标均属于该纤维的传递点存在于 $R^n_\pi$ 中。
• 证明依赖于 Ellis 群作用和剩余集构造，以证明对合适的开集 $U$，有 $\overline{\mathcal{T}(\{x'\} \times U)} = R^n_\pi$。