[论文解读] Register Transducers Are Marble Transducers

Gaëtan Douéneau-Tabot, Emmanuel Filiot+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文证明了支持寄存器复制的流式字符串转换器（SSTs）与增强型双向往返转换器等价，后者可丢弃并管理输入上的‘弹珠’——这些弹珠遵循栈式规则。关键贡献在于，所用弹珠数量与输出大小的多项式增长率之间存在紧密对应关系，表明k个弹珠的转换器恰好捕获O(n^{k+1})输出大小的函数，且通过输出增长的句法分析可判定该类成员资格。

ABSTRACT

Deterministic two-way transducers define the class of regular functions from words to words. Alur and Cerný introduced an equivalent model of transducers with registers called copyless streaming string transducers. In this paper, we drop the "copyless" restriction on these machines and show that they are equivalent to two-way transducers enhanced with the ability to drop marks, named "marbles", on the input. We relate the maximal number of marbles used with the amount of register copies performed by the streaming string transducer. Finally, we show that the class membership problems associated with these models are decidable. Our results can be interpreted in terms of program optimization for simple recursive and iterative programs.

研究动机与目标

• 将已知的无复制SST与双向往返转换器之间的等价性扩展到支持复制的SST这一更表达力强的情形。
• 引入并形式化一种新型转换器模型——弹珠转换器，该模型无需寄存器，而是通过在输入上放置标记（‘弹珠’）来模拟寄存器复制。
• 通过所用弹珠数量刻画支持复制SST的表达力，将句法限制与语义输出增长相联系。
• 证明k个弹珠转换器的成员资格问题可判定，且以输出大小为充分必要条件。

提出的方法

• 引入弹珠转换器作为可向输入上丢弃弹珠的双向往返转换器，新弹珠仅能置于已有弹珠左侧，从而强制实现类似栈的规则。
• 证明支持复制的SST在表达力上等价于弹珠转换器，且弹珠数量对应于寄存器复制的深度。
• 将k个弹珠转换器定义为弹珠转换器的限制形式，其最多使用k个弹珠，证明其运行时间为O(n^{k+1})，输出大小为O(n^{k+1})。
• 建立k个弹珠转换器与k层SST之间的等价性，其中寄存器复制被限制在k层层次结构中。
• 通过三个函数（骨架skes、起始begs、后续fols）对SST中替换的符号化表示，实现无复制的虚拟替换组合。
• 实现一个有限状态机S，通过跟踪存活的确定性分支、丢弃死子树，并利用类似寄存器状态的无复制更新组合替换，模拟SST的执行。

实验结果

研究问题

• RQ1 支持复制的流式字符串转换器的表达力是否可由无寄存器模型捕获？
• RQ2 弹珠转换器中所用弹珠数量与输出大小的多项式增长率之间是否存在精确对应关系？
• RQ3 k个弹珠转换器的成员资格问题是否可判定，且能否简化为对输出大小的句法分析？
• RQ4 k层SST中寄存器复制的分层限制与k个弹珠转换器的栈式行为之间有何关系？
• RQ5 对于此类函数，是否可有效判定将指数时间算法优化为多项式时间等价物？

主要发现

• 支持复制的SST在表达力上等价于可丢弃并管理输入上弹珠的双向往返转换器。
• 弹珠转换器中所用弹珠数量与输出大小的多项式增长率完全对应：k个弹珠转换器的输出大小为O(n^{k+1})。
• k个弹珠转换器的成员资格问题可判定，且当且仅当某函数的输出增长为O(n^{k+1})时，其可由k个弹珠转换器计算。
• k个弹珠转换器等价于k层SST，其中寄存器复制被限制在k层分层结构中，推广了已知的双向往返转换器与无复制SST之间的等价性。
• 通过符号化替换组合（使用skes、begs、fols）模拟SST的有限状态机S，实现无复制的虚拟组合，保持正确性并支持高效分析。
• 该模型为通过转换指数时间算法为多项式时间算法来优化递归与迭代程序提供了理论基础，且该优化问题的可判定性得以确立。