[论文解读] Regression techniques for subspace-based black-box state-space system identification: an overview
本文提出了一种基于回归的框架，用于基于子空间的黑箱状态空间系统辨识，将子空间算法重新表述为最小二乘问题，以实现统计分析并整合先验知识。结果表明，开环与闭环子空间方法均可通过基于预测器的回归公式统一，关键算法如 PBSID 和 PBSIDopt 均源自结构化线性回归模型。
As far as the identification of linear time-invariant state-space representation is concerned, among all of the solutions available in the literature, the subspace-based state-space model identification techniques have proved their efficiency in many practical cases since the beginning of the 90's. This paper introduces an overview of these techniques by focusing on their formulation as a least-squares problem. Apart from an article written by J. Qin, to the author's knowledge, such a regression formulation is not totally investigated in the books which can be considered as the references as far as subspace-based identification is concerned. Thus, in this paper, a specific attention is payed to the regression-based techniques used to identify systems working under open-loop as well as closed-loop conditions.
研究动机与目标
- 通过回归公式统一并分析基于子空间的状态空间辨识技术。
- 通过将子空间估计重新表述为最小二乘问题，实现对子空间估计的统计分析。
- 通过基于回归的重构方法，将子空间方法的应用范围扩展至闭环系统。
- 通过结构化回归约束，促进将先验知识整合到子空间辨识中。
- 为基于预测器的子空间辨识（PBSID）及其变体提供理论与算法基础。
提出的方法
- 将子空间辨识重构为结构化最小二乘回归问题，将系统状态与历史输入-输出数据关联。
- 利用创新方程的预测器形式，推导出近似状态序列的回归模型。
- 采用加权奇异值分解（SVD）从回归模型中估计状态序列。
- 利用马尔可夫参数构建的分块汉克尔矩阵，形成回归设计矩阵。
- 利用 RQ 分解与 SVD，实现子空间与系统矩阵的鲁棒数值计算。
- 从回归公式推导出 PBSID 算法，并通过 PBSIDopt 与 PBSIDToolbox 等变体支持实际实现。
实验结果
研究问题
- RQ1如何将基于子空间的状态空间辨识重构为最小二乘回归问题，以实现统计分析？
- RQ2预测器形式在统一开环与闭环子空间辨识方法中起到何种作用？
- RQ3如何通过基于回归的框架将关于系统结构的先验知识整合到子空间辨识中？
- RQ4与传统子空间算法相比，基于回归的公式在统计与数值方面具有哪些优势？
- RQ5不同子空间方法（如 MOESP、N4SID、CVA）与所提出的回归公式有何关系？
主要发现
- 基于子空间的辨识方法可被解释为求解结构化最小二乘问题，从而实现以往在标准子空间技术中难以实现的统计分析。
- 基于预测器的公式在统一的回归框架下，将开环与闭环子空间辨识方法统一起来。
- 从该回归模型推导出的 PBSID 算法，为状态空间系统辨识提供了鲁棒且一致的方法。
- 使用 VARMAX 模型而非 VARX 模型，可降低参数 $ p $ 所需的取值，提升数值效率。
- PBSIDToolbox 提供了用于 LTI、LPV 及非线性系统批量与递推辨识的可靠且可扩展的实现。
- 回归公式支持通过约束优化整合先验知识，克服了经典子空间方法的一项关键局限。
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