[论文解读] Regular and Biregular module algebras

Christian Lomp|ArXiv.org|Sep 30, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文確立了霍普夫模代數及其 smash 积為正則或雙正則的條件，推廣了關於馮諾依曼正則斜群環的結果。結果表明，霍普夫代數 $H$-模代數 $A$ 為正則當且僅當其不變子環 $A^H$ 為正則，且不變函子在 $A^H$-模與 $A$ 作為 $A\#H$-模的維 Schoaf 分類之間誘導出一個等價，對於雙正則性亦有類似結果，使用包絡霍普夫雙代數 $A^e\bowtie H$。主要貢獻在於透過不變量與模理論等價，對霍普夫模代數中的正則性提供了結構特徵。

ABSTRACT

Motivated by the study of von Neumann regular skew groups as carried out by Alfaro, Ara and del Rio in 1995 we investigate regular and biregular Hopf module algebras. If $A$ is an algebra with an action by an affine Hopf algebra $H$, then any $H$-stable left ideal of $A$ is a direct summand if and only if $A^H$ is regular and the invariance functor $(-)^H$ induces an equivalence of $A^H$-Mod to the Wisbauer category of $A$ as $A# H$-module. Analogously we show a similar statement for the biregularity of $A$ relative to $H$ where $A^H$ is replaced by $R=Z(A)\cap A^H$ using the module theory of $A$ as a module over $A\otimes A^{op} \bowtie H$ the envelopping Hopf algebroid of $A$ and $H$. We show that every two-sided $H$-stable ideal of $A$ is generated by a central $H$-invariant idempotent if and only if $R$ is regular and $A_m$ is $H$-simple for all maximal ideals $m$ of $R$. Further sufficient conditions are given for $A# H$ and $A^H$ to be regular.

研究动机与目标

• 將馮諾依曼正則斜群環的結果推廣至霍普夫模代數的設定。
• 以不變子環 $A^H$ 的正則性與不變函子的行為，特徵化 $H$-模代數 $A$ 的正則性。
• 利用包絡霍普夫雙代數 $A^e\bowtie H$ 與中心不變子環 $R = Z(A) \cap A^H$，將特徵化推廣至雙正則模代數。
• 提供 $A\#H$ 與不變子環 $A^H$ 正則性的充分條件，以積分與跡數為 1 的中心元素表達。
• 研究在適當霍普夫代數作用下，從 $A$ 到其不變子環 $A^H$ 的內射性與正則性的傳遞。

提出的方法

• 使用 $A\subseteq B$ 擴張的框架，透過環同態 $\Psi: B \to \mathrm{End}_k(A)$ 給予額外模結構，使 $A$ 成為左 $B$-模。
• 應用維 Schoaf 分類 $\sigma[M]$ 與模的正則性概念，其中模 $M$ 為正則若 $\sigma[M]$ 中每個模皆為平坦，或 $\sigma[M]$ 中每條短正合序列皆為純正合。
• 使用包絡霍普夫雙代數 $A^e\bowtie H$ 研究雙正則性，將 $A^H$ 替換為 $R = Z(A) \cap A^H$ 以進行特徵化。
• 利用 $H$ 中右積分的存在性與中心元素 $z$ 滿足 $S(t)\cdot z = 1$，以建立 $A\#H$ 的可分性與正則性。
• 應用布萊特納-蒙哥馬利對偶性，將 $({A\#H})\#H^*$ 與 $M_n(A)$ 關聯，使 $A\#H$ 的正則性可傳遞至 $A$。
• 依賴模理論等價與函子同構 $\mathrm{Hom}_B(A, -) \cong (-)^B$，以連結不變量與模結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，$H$-模代數 $A$ 為 $A\#H$-模的正則模？
• RQ2 不變子環 $A^H$ 何時為正則？其與 $A$ 作為 $A\#H$-模的結構有何關聯？
• RQ3 如何關聯 $A$ 的雙正則性與 $R = Z(A) \cap A^H$ 的正則性，以及 $R$ 的極大理想 $m$ 對應的 $A_m$ 的 $H$-簡約性？
• RQ4 在 $A$ 為正則且 $H$ 以跡數為 1 的中心元素作用時，何種條件可確保 $A\#H$ 為正則？
• RQ5 在擴張的平坦性與自內射性假設下，如何從 $A$ 將內射性傳遞至 $A^H$？

主要发现

• 霍普夫代數 $H$-模代數 $A$ 為 $A\#H$-模的正則模，當且僅當 $A^H$ 為正則，且不變函子 $(-)^H$ 將 $A^H$-Mod 與 $A$ 作為 $A\#H$-模的維 Schoaf 分類誘導出等價。
• 所有兩側 $H$-穩定理想皆由中心 $H$-不變幂等元生成，當且僅當 $R = Z(A) \cap A^H$ 為正則，且對所有 $R$ 的極大理想 $m$，$A_m$ 為 $H$-簡約。
• 若 $H$ 為局部有限霍普夫代數，且存在右積分 $t$ 滿足 $S(t)\cdot z_t = 1$ 對某中心元素 $z_t \in A$，則 $A\subseteq A\#H$ 為局部可分，且若 $A$ 為正則，則 $A\#H$ 亦為正則。
• 若 $H$ 為余交換或 $z_t \in Z(A)^H$，則當 $A$ 為正則且 $H$ 以跡數為 1 的中心元素作用時，$A\#H$ 為正則。
• 若 $A$ 為正則且作為 $A\#H$-模左自內射，則在 $H$ 有右積分 $t$ 且 $A$ 有中心元素 $z$ 滿足 $S(t)\cdot z = 1$ 條件下，$A^H$ 亦為正則且左自內射。
• 當 $H$ 為有限維且半簡約時，$A\#H$ 的正則性可透過布萊特納-蒙哥馬利對偶性與同構 $({A\#H})\#H^* \cong M_n(A)$，推導出 $A$ 的正則性。