[论文解读] Regular black holes in three dimensions and the zero point length

Kimet Jusufi|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文通过应用正则化程序 $ r \to \sqrt{r^2 + l_0^2} $，在三维反 de Sitter (AdS) 空间中提出了一种规则的、非奇点的黑洞解，其中 $ l_0 $ 表示编码量子引力效应的零点长度。该方法修改了引力和电磁势，使得在原点处能量密度有限，具有渐近 AdS 几何结构，并在特定条件下形成平坦 de Sitter 核心。该解在 $ l_0 \to 0 $ 极限下退化为带电 BTZ 黑洞，并通过维度延续和 Newman–Janis 算法扩展为旋转解。

ABSTRACT

In this paper, by means of regularisation procedure via $r o \sqrt{r^2+l_0^2}$ (where $l_0$ can play the role of zero point length), we first modify the gravitational and electromagnetic potentials in two dimensions and then we solve the Einstein field equations to end up with an exact and regular black hole solution in three dimensions with a negative cosmological constant. We show that, the black hole solution is asymptotically AdS, non-singular at the origin and, under specific conditions, it has a flat de Sitter core at the origin. As a special case, we obtain the charged Banados-Teitelboim-Zanelli (BTZ) solution. Finally, using a dimensional continuation and the NJ algorithm, we end up with a legitimate rotating black hole solution in three dimensions.

研究动机与目标

• 通过正则化程序引入量子引力效应，构建三维时空中的非奇点黑洞解。
• 利用零点长度 $ l_0 $ 建模弥散物质分布，确保原点处能量密度有限。
• 推导三维 AdS 空间中带电荷的精确、规则黑洞解，其在经典极限下退化为 BTZ 解。
• 通过维度延续和 Newman–Janis 算法，将静态解扩展为旋转黑洞解。

提出的方法

• 对二维引力势 $ \Phi \sim M\ln r $ 应用正则化 $ r \to \sqrt{r^2 + l_0^2} $，得到 $ \Phi = kM\ln(\sqrt{r^2 + l_0^2}) $。
• 求解二维泊松方程 $ \nabla^2 \Phi = 2\pi \rho $，推导出有限且规则的能量密度 $ \rho(r) = \frac{kM l_0^2}{\pi (r^2 + l_0^2)^2} $。
• 将电磁势修改为 $ A_\mu = (-Q\ln(\sqrt{r^2 + l_0^2}), 0, 0) $，从而得到规则的电磁能动张量。
• 利用正则化后的能动张量求解带有宇宙学常数 $ \Lambda = 1/l^2 $ 的爱因斯坦-麦克斯韦方程，推导出度规函数 $ f(r) $。
• 通过将三维解嵌入四维静态球对称时空的 $ \theta = \pi/2 $ 截面，实现维度延续。
• 通过复坐标变换应用 Newman–Janis 算法，生成三维旋转黑洞解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过量子修正的正则化程序，在三维 AdS 空间中构造出规则的、非奇点的黑洞解？
• RQ2 引入零点长度 $ l_0 $ 是否会导致原点处能量密度有限，并形成平坦 de Sitter 核心？
• RQ3 正则化解在经典极限 $ l_0 \to 0 $ 下是否退化为标准带电 BTZ 黑洞？
• RQ4 能否通过 Newman–Janis 算法，从高维几何推导出三维旋转黑洞解？

主要发现

• 能量密度 $ \rho(r) = \frac{kM l_0^2}{\pi (r^2 + l_0^2)^2} $ 在原点处有限且规则，当 $ l_0 \to 0 $ 时趋于零，表明由于量子引力效应导致物质分布弥散。
• 质量函数 $ m(r) = \frac{kM r^2}{r^2 + l_0^2} $ 在 $ r = 0 $ 处为零，且在大 $ r $ 时渐近趋于 $ M $，确保了正确的经典极限。
• 黑洞解具有渐近 AdS 性质，当 $ r \to \infty $ 时 $ f(r) \to \frac{r^2}{l^2} $，并在特定参数条件下在 $ r \to 0 $ 时表现出平坦 de Sitter 核心。
• 在 $ l_0 \to 0 $ 极限下，该解退化为带电 BTZ 黑洞，证实与已知结果的一致性。
• 通过维度延续和 Newman–Janis 算法，推导出三维旋转黑洞解，其度规以 Boyer–Lindquist 类型坐标表示。
• 旋转解表示为 $ ds^2 = -f(r) d\tilde{t}^2 - 2a d\tilde{t} d\phi + r^2 d\phi^2 + \frac{r^2}{\Delta} dr^2 $，其中 $ \Delta = r^2 f(r) + a^2 $，且 $ f(r) $ 通过 $ l_0 $ 包含量子修正。