[论文解读] Regular C*-valued weights

Johan Kustermans|ArXiv.org|Mar 13, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文引入了C*-值权作为冯诺依曼代数上算子值权的C*-代数推广，为从一个C*-代数到另一个C*-代数的无界、完全正映射提供了框架。它建立了类似KSGNS的构造，定义了下连续性和正则性，并通过一种新颖的乘子代数扩张程序，构造了正则C*-值权的张量积。

ABSTRACT

We introduce the notion of a C*-valued weight between two C*-algebras as a generalization of an ordinary weight on a C*-algebra and as a C*-version of operator valued weights on von Neumann algebras. Also, some form of lower semi-continuity will be discussed together with an extension to the multiplier algebra. A strong but useful condition for C*-valued weights, the so-called regularity, is introduced. At the same time, we propose a construction procedure for such regular C*-valued weights. This construction procedure will be used to define the tensor product of regular C*-valued weights.

研究动机与目标

• 将冯诺依曼代数上的算子值权推广至C*-代数框架，实现量子群不变性问题的纯C*-代数处理。
• 定义并研究从一个C*-代数到另一个C*-代数乘子代数的无界、完全正映射的C*-值权。
• 引入并分析C*-值权的正则性概念，确保其扩展与张量积构造的良好行为。
• 为C*-值权发展一种类似标准KSGNS的构造，类比于完全正映射的KSGNS。
• 将理论扩展至允许取值于关联元素，以容纳量子群设定中的无界模态算子。

提出的方法

• 将C*-值权定义为从C*-代数A到另一C*-代数B的乘子代数M(B)的完全正、定义稠密的线性映射，并具有正元素的遗传锥。
• 通过希尔伯特C*-模使用KSGNS构造，将此类权嵌入至目标C*-代数上的模上的表示中。
• 通过由约化单位索引的完全正映射族定义下连续性，确保与严格收敛的一致性。
• 将正则性定义为强条件，确保权连续扩展至乘子代数，并在张量积下表现良好。
• 通过涉及约化基和严格连续性的程序构造正则C*-值权，从而实现张量积的定义。
• 利用希尔伯特模上伴随算子的收敛性，证明某些无界映射为伴随算子，从而支持KSGNS表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖正规扩展的前提下，将冯诺依曼代数上的算子值权推广至C*-代数框架？
• RQ2 何种条件可确保C*-值权连续扩展至目标C*-代数的乘子代数？
• RQ3 正则性在确保C*-值权张量积的存在性与唯一性中起何作用？
• RQ4 如何将KSGNS构造适配于无界、完全正的C*-值权？
• RQ5 在C*-值权的量子群语境中，关联元素（如模态算子）以何种方式自然出现？

主要发现

• C*-值权被定义为从C*-代数A到另一C*-代数B的乘子代数M(B)的定义稠密、完全正、线性映射。
• 建立了C*-值权的KSGNS构造，将权嵌入至B上的希尔伯特C*-模表示中。
• 引入正则性作为关键条件，确保权可扩展至乘子代数，并在张量积下表现良好。
• 提供了一种基于严格连续性和约化基的正则C*-值权构造程序。
• 通过该构造程序定义了两个正则C*-值权的张量积，从而实现了C*-代数量子群中(ι⊗φ)(Δ(a))的定义。
• 本文证明了某些取值于希尔伯茨C*-模的无界B-线性映射为伴随算子，这是KSGNS构造中的关键技术结果。